Análisis de Elementos Finitos en la Nube para Cerchas con Node.js, React y Three.js
Esta aplicación de página única (SPA) en la nube, construida con Node.js, Express.js, React.js, MobX y Three.js, simula sistemas de cerchas 3D utilizando el modelo de viga de Euler-Bernoulli. El sistema de matriz de rigidez dispersa se resuelve mediante el método iterativo de gradiente conjugado. Los diagramas de fuerzas internas en los elementos de la cercha se visualizan en la GPU con shaders de vértices y fragmentos GLSL, ofreciendo renderizado instantáneo de polinomios de grado 5 en el espacio 3D.
El lado del cliente cuenta con una SPA responsiva que incluye registro de usuarios, perfiles privados de modelos, galería pública de proyectos y un visor 3D. La barra de navegación y la escena de Three.js funcionan a la perfección en escritorios, tablets y dispositivos móviles.
Fundamento Matemático: Teoría de Vigas de Euler-Bernoulli
Para una viga de longitud L con rigidez flexural EJ₃ bajo cargas puntuales F, momentos M, cargas distribuidas q(x) = kx + q₀ y momentos m(x) = rx + m₀, la ecuación de flexión en coordenadas locales (x₁ a lo largo de la viga, x₂ vertical, x₃ transversal) es:
$$EJ_3 \dfrac{d^4v}{dx^4} = q(x) - \dfrac{dm}{dx}, \quad x\in[0,L]$$
Solución general:
$$v(x)=\dfrac{kx^5}{120EJ_3}+\dfrac{(q_0-r)x^4}{24EJ_3}+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1$$
Las condiciones de contorno v(0)=v¹, v'(0)=φ¹, v(L)=v², v'(L)=φ² determinan los coeficientes mediante polinomios de Hermite N_p^i:
$$v(x) = \dfrac{k}{EJ_3}(\dfrac{x^5}{120}-\dfrac{x^3L^2}{40}+\dfrac{x^2L^2}{60})+\dfrac{q_0-r}{EJ_3}(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^3L}{12}+\dfrac{x^2L^2}{24})+N_p^i\alpha_i^p$$
$$N_p^1\alpha_1^p=(2\dfrac{x^3}{L^3}-3\dfrac{x^2}{L^2}+1)v^1 + (-2\dfrac{x^3}{L^3}+3\dfrac{x^2}{L^2})v^2$$
$$N_p^2\alpha_2^p=(x^3/L^2-2x^2/L+x)\phi^1 + (x^3/L^2-x^2/L)\phi^2$$
De los principios variacionales de Lagrange, la ecuación de rigidez local es:
$$K_{pq}^{ij}\alpha_j^q=F_p^i,\quad K_{pq}^{ij}=EJ_3 \int_0^L N_{p,11}^i N_{q,11}^j dx$$
$$F_p^i = \int_0^L [q(x) N_p^i + m(x) N_{p,1}^i] dx + f_p^i$$
Para flexión planar en el plano 0xy, la matriz de rigidez es:
$$\dfrac{EJ_3}{L^3}\begin{bmatrix} 12&6L&-12&6L\\ 6L&4L^2&-6L&2L^2\\-12&-6L&12&-6L\\6L&2L^2&-6L&4L^2\end{bmatrix} \left\lbrace \begin{matrix}v^1\\ \varphi^1\\v^2\\ \varphi^2 \end{matrix}\right\rbrace=\left\lbrace \begin{matrix} F_1\\M_1\\F_2\\M_2 \end{matrix}\right\rbrace$$
Transformación a Coordenadas Globales
Los desplazamientos locales se relacionan con los globales mediante la matriz de transformación ortogonal a_ij (coordenadas de la base local i,j,k en el sistema global):
$$\alpha_i^p = a_{im} \beta_m^p \Rightarrow \mathbb{K}_{pq}^{mn} = a_{im}^T K_{pq}^{ij} a_{jn}$$
$$a_{ij}=\begin{bmatrix}ix&iy&iz\\jx&jy&jz\\kx&ky&kz\end{bmatrix}$$
El sistema global se resuelve para los desplazamientos nodales β. La retrotransformación da las deflexiones y rotaciones locales, y luego los diagramas de fuerzas:
$$M_3(x)=-EJ_3\dfrac{d^2v}{dx^2}, \quad Q(x) = -\dfrac{dM}{dx} - m(x)$$
Para extensión-compresión axial (i,j,m,n={1,2,3}), la matriz de transformación 6x6 es:
$$\begin{bmatrix} ix & iy & iz & 0 & 0 & 0 \\ jx & jy &jz & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ix & iy & iz \\ 0&0&0&jx&jy&jz\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}$$
Matriz de rigidez local 6x6 incluyendo EA/L para deformación axial u y flexión EJ:
$$K_{pq}^{ij} = \begin{bmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12EJ}{L^3} &\frac{6EJ}{L^2} & 0 & -\frac{12EJ}{L^3} &\frac{6EJ}{L^2}\\ 0 & \frac{6EJ}{L^2} & \frac{4EJ}{L} & 0 & -\frac{6EJ}{L^2} & \frac{2EJ}{L} \\ -\frac{EA}{L} & 0 & 0 &\frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{12EJ}{L^3} &-\frac{6EJ}{L^2} & 0 & \frac{12EJ}{L^3} &-\frac{6EJ}{L^2}\\ 0 & \frac{6EJ}{L^2} & \frac{2EJ}{L} & 0 & -\frac{6EJ}{L^2} & \frac{4EJ}{L}\end{bmatrix}$$
Ejemplos de Diagramas de Fuerzas y Visualización
- Diagramas de deflexión Uy para un pórtico 3D bajo torsión M₃: polinomio de grado 5 bajo carga lineal q(x).
- Diagramas de momentos en un pórtico de 3 elementos: polinomio de grado 3 a lo largo de cada viga.
Los diagramas se calculan analíticamente a partir de los desplazamientos nodales y se renderizan en tiempo real mediante shaders para cada elemento.
Aspectos Destacados
- Solucionador híbrido numérico-analítico que combina polinomios exactos con iteración de gradiente conjugado para sistemas dispersos grandes.
- Shaders GLSL para visualización acelerada por GPU de diagramas de fuerzas 3D.
- Modelo completo de 6-GDL: flexión + axial con transformaciones ortogonales.
- Interfaz SPA responsiva en React/MobX/Three.js diseñada para ingenieros.
- Modelos públicos/privados alojados en la nube con Node.js/Express.js.
— Editorial Team
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