Connexions des Formules de π à Travers CMF et AI

L'IA révèle des liens cachés dans les formules historiques du nombre π

Au IIIe siècle avant notre ère, Archimède a utilisé la méthode des polygones inscrits et circonscrits (96 côtés), encadrant π entre 3,140845… et 3,142857…. Cette approximation a dominé pendant 1 600 ans.

Au XIVe siècle, Madhava de Sangamagrama a introduit une série infinie, bien que convergente lentement. Euler l’a accélérée au XVIIIe siècle. Ramanujan a développé des formules extrêmement efficaces au début du XXe siècle — encore pertinentes aujourd’hui.

Des milliers de formules se sont accumulées au fil de 2 000 ans, plus des générations algorithmiques sans fin. Jusqu’ici, aucune connexion n’était connue.

Méthodologie de recherche

Les chercheurs ont compilé un jeu de données de 455 050 prépublications arXiv en six semaines. GPT-4o et des algorithmes spécialisés ont extrait 385 formules uniques pour π (10 % du jeu de données 'Ramanujan Machine' 2019).

Les formules ont été uniformisées sous forme de séries infinies. Le CMF (Champ Matriciel Conservatif), développé par l’équipe en 2023, les a représentées comme des chemins sur une grille semblable à un champ gravitationnel :

• Conservativité : La différence d’énergie (ou la valeur) dépend uniquement des points de départ et d’arrivée.
• Équivalence : Des chemins parallèles = transformation d’une formule vers une autre.

Les algorithmes ont positionné les formules dans le CMF, identifié des clusters et prouvé formellement leurs relations.

Étapes clés du traitement des données :

• Analyse des prépublications arXiv (script de Tomer Raz).
• Extraction et suppression des doublons (GPT-4o + algorithmes).
• Uniformisation en séries.
• Intégration dans le CMF et regroupement.
• Preuve d’équivalence.

Champ Matriciel Conservatif (CMF)

Le CMF est un outil universel pour les constantes hiérarchiques. Appliqué au nombre π, il a révélé une formule fondamentale comme « ancêtre commun ».

Analogie : Champs gravitationnels sur une grille. Les chemins de A à B produisent un travail identique quelle que soit la trajectoire.

Potentiel : Démonstrations d’irrationalité, hypothèse de Riemann. Toutes les équations générées via le CMF convergent vers π.

Questions ouvertes :

• Le CMF étendu couvrira-t-il 100 % des formules ?
• Toutes les équations du CMF produisent-elles π ?

Évaluations d’experts

David Bailey (Lawrence Berkeley) : Comparé à l’assemblage automatique du tableau périodique à partir d’éléments épars.

George Andrews (Penn State) : « Mathématiques sérieuses avec un potentiel de découverte. »

Points clés

• 43 % des formules du nombre π sont des dérivées directes d’une formule centrale dans le CMF.
• La méthode unifie Archimède, Euler et Ramanujan.
• Le CMF s’applique à d’autres constantes et hypothèses.
• Jeu de données : 385 formules issues de 455 000 prépublications arXiv.
• Futur : Classification complète et nouvelles preuves.

— Editorial Team