Majorisation des ODE : comparaison des solutions

Majorisation des systèmes d'EDO : Comparaison des solutions via les seconds membres

Dans l'analyse des systèmes dynamiques, les solutions exactes des équations différentielles ordinaires (EDO) sont souvent inaccessibles. Le théorème de majorisation permet d'estimer le comportement d'un système "complexe" à travers la solution d'un système "simple" dont les propriétés sont connues. Si le second membre et les conditions initiales d'un système sont, composante par composante, supérieurs à ceux d'un autre, alors les trajectoires des solutions préservent cette inégalité.

Pour des vecteurs $x=(x^1,\ldots,x^m)$, $y=(y^1,\ldots,y^m) \in \mathbb{R}^m$, on note $x \le y$ si $x^i \le y^i$ pour tout $i=1,\dots,m$. Le cube $[x,y]:=\{z\in\mathbb{R}^m\mid x\le z\le y\}$.

Considérons un domaine $D \subset \mathbb{R}^m$ tel que pour $x,y\in D$, $x\le y$ implique $[x,y]\subset D$. Des fonctions $f_1,f_2\in C(I\times D,\mathbb{R}^m)$ avec des jacobiennes continues $\frac{\partial f_i}{\partial x}\in C(I\times D,\mathbb{R}^{m\times m})$, où $I=[t_0,t_1]$.

Deux problèmes de Cauchy :

$\dot x = f_i(t,x)$, $x(t_0)=\hat x_i$, $i=1,2$.

Énoncé du théorème principal

Soit $f_1(t,x)\le f_2(t,x)$ pour tout $(t,x)\in I\times D$ et $\hat x_1\le\hat x_2$. Il existe des matrices diagonales $U_i(t,x)$ à éléments non négatifs et des matrices $B_i(t,x)$ à éléments non négatifs :

$\frac{\partial f_i}{\partial x}=U_i + B_i$, $i=1,2$.

Énoncé : Si $x_i(t)$ sont les solutions des problèmes de Cauchy sur $I$, alors $x_1(t)\le x_2(t)$ pour tout $t\in I$.

Cette propriété permet de majorer un système insoluble par un système simple dont les propriétés sont connues.

Structure de la démonstration

Introduisons une homotopie $y=y(t,s)$ pour $s\in[0,1]$ :

$y_t=(1-s)f_1(t,y)+s f_2(t,y)$, $y(t_0,s)=(1-s)\hat x_1 + s\hat x_2$.

À $s=0$, on obtient $x_1(t)$ ; à $s=1$, on obtient $x_2(t)$. Il suffit de montrer que $s\mapsto y(t,s)$ est non décroissante pour $t$ fixé, c'est-à-dire $y_s\ge 0$.

Dérivation par rapport au paramètre

Dérivons par rapport à $s$ :

$$\begin{aligned} y_{st} &= f_2 - f_1 + (u + b)y_s, \\ u(t,s) &= sU_2(t, y(t,s)) + (1-s)U_1(t, y(t,s)), \\ b(t,s) &= sB_2(t, y(t,s)) + (1-s)B_1(t, y(t,s)), \\ y_s|_{t=t_0} &= \hat x_2 - \hat x_1 \ge 0.\end{aligned}$$

Région de monotonie

$M=A=\{t\in I\mid y_s(\xi,s)\ge0,\ \xi\in[t_0,t],\ s\in[0,1]\}$. L'ensemble est non vide ($t_0\in A$), fermé. Soit $\tau=\sup A$.

Supposons $\tau<t_1$. Sous forme intégrale :

$$y_s(t,s)=e^{\int_\tau^t u\,d\lambda}y_s(\tau,s)+\int_\tau^t e^{\int_\xi^t u\,d\lambda}(f_2-f_1+by_s)\,d\xi=:\Phi(y_s).$$

Méthode de contraction

Par le principe du point fixe, l'équation $\Phi(y_s)=y_s$ est résolue pour $t-\tau>0$ petit. Approximation initiale $Y_0=e^{\int_\tau^t u\,d\lambda}y_s(\tau,s)\ge0$. Par récurrence $Y_{k+1}=\Phi(Y_k)\ge0$, puisque l'opérateur $\Phi$ préserve la non-négativité. La limite $y_s\ge0$ sur $[\tau,\tau+\varepsilon]\times[0,1]$, contredisant la définition de $\tau$.

Application : Inégalité de Gronwall-Bellman

Pour $w(t)\ge0$ tel que $w(t)\le C+\int_{t_0}^t v(\xi)w(\xi)\,d\xi$, $v\ge0$.

Auxiliaire $\phi(t)=C+\int_{t_0}^t v w\,d\xi$, $w\le\phi$, $\dot\phi=vw\le v\phi$.

Système 1 : $\dot x=f_1(t,x):=vx-(v\phi-\dot\phi)$, $x(t_0)=C$. Les parenthèses sont non négatives.

Majorant : $\dot x=f_2(t,x):=vx$, $x(t_0)=C$, solution $x(t)=Ce^{\int_{t_0}^tv\,d\xi}$.

Par le théorème $w\le\phi\le Ce^{\int_{t_0}^tv\,d\xi}$.

Points clés :

• La majorisation fonctionne lorsque $f_1\le f_2$ et $\hat x_1\le\hat x_2$.
• Les jacobiennes se décomposent en diagonale $U$ (non négative) et $B$ (non négative).
• Démonstration via homotopie et méthode de contraction.
• Lien direct avec l'inégalité de Gronwall pour les estimations intégrales.
• Application : estimation des solutions d'EDO non linéaires par des exponentielles simples.

Conclusion

Le théorème fournit un outil pour l'analyse qualitative de la dynamique sans intégration explicite. Les conditions sur les jacobiennes assurent la monotonie de l'homotopie, ce qui est crucial pour préserver l'inégalité.

— Editorial Team