Les monades et les adjonctions : factorisation via Kleisli et Eilenberg-Moore

Les monades et les adjonctions : factorisation via les adjonctions de Kleisli et d'Eilenberg-Moore

Une monade dans une catégorie peut être représentée comme une composition de foncteurs adjoints passant par une catégorie intermédiaire. Cette approche révèle la structure interne d'une monade et permet d'analyser celle-ci à travers deux adjonctions extrêmes : l'adjonction initiale de Kleisli et l'adjonction terminale d'Eilenberg-Moore. Chacune illustre une manière unique d'organiser l'information perdue ou récupérée par les foncteurs.

Foncteurs oubliants et libres

Les adjonctions entre foncteurs sont souvent décrites en termes de leurs rôles : le foncteur droit est généralement « oubliant », tandis que le foncteur gauche est « libre ». Un foncteur oubliant perd une partie de la structure de la catégorie d'origine, fusionnant des objets distincts en un seul. Le foncteur libre, qui est adjoint à gauche, tente de récupérer autant d'information que possible, construisant l'objet « le plus général » dans la catégorie intermédiaire.

L'exemple des monoïdes illustre cela : le foncteur oubliant U applique la catégorie des monoïdes Mon(Ensemble) vers la catégorie des ensembles Ensemble, supprimant l'opération de multiplication et les lois d'associativité. Le foncteur libre F, adjoint à gauche de U, construit pour tout ensemble a le monoïde libre Fa — une structure dotée d'une opération binaire la plus générale, permettant d'obtenir tout autre monoïde via des morphismes.

Ces rôles ne sont pas des définitions mathématiques strictes, mais aident à comprendre comment l'adjonction organise l'information :

• Le foncteur droit oublie les distinctions, fusionne les objets.
• Le foncteur gauche reconstruit librement la structure, créant les objets les plus généraux.

Catégorie des adjonctions de monade

Pour une monade T sur un endofoncteur, on peut construire une catégorie Adj_T dont les objets sont toutes les adjonctions possibles (D, F, U) générant T = U∘F. Les morphismes entre adjonctions sont des foncteurs K : D → D' satisfaisant K∘F = F' et U'∘K = U.

Cette catégorie contient toutes les informations sur les réalisations possibles de la monade T. Un résultat clé : Adj_T possède à la fois un objet initial et un objet terminal, représentant deux façons extrêmes de factoriser la monade.

Adjonction de Kleisli

L'adjonction de Kleisli est l'objet initial dans Adj_T. La catégorie intermédiaire ici est celle des algèbres libres T. Les objets sont simplement des objets de la catégorie originale C, mais les morphismes sont organisés via l'opération de la monade.

L'adjonction de Kleisli envoie l'objet a vers l'algèbre libre (Ta, μ_a), où μ_a est la multiplication de la monade. Le foncteur oubliant U renvoie simplement l'objet de l'algèbre à la catégorie d'origine, oubliant la structure de multiplication.

Caractéristiques clés de l'adjonction de Kleisli :

• La catégorie intermédiaire a une structure minimale ; les objets correspondent directement à ceux de C.
• Les morphismes reflètent l'action de la monade à travers son opération.
• Cette adjonction est maximale dans sa « liberté », sans ajouter de contraintes supplémentaires.

Adjontion d'Eilenberg-Moore

L'adjonction d'Eilenberg-Moore est l'objet terminal dans Adj_T. Sa catégorie intermédiaire est celle de toutes les T-algèbres, où les objets sont des paires (a, h : Ta → a) satisfaisant les lois d'algèbre.

Ici, le foncteur F envoie l'objet a vers l'algèbre libre (Ta, μ_a), tout comme dans l'adjonction de Kleisli. Toutefois, le foncteur oubliant U envoie maintenant l'algèbre (a, h) simplement vers l'objet a, oubliant non seulement la structure de multiplication mais aussi le morphisme spécifique h.

L'adjonction d'Eilenberg-Moore représente l'approche maximale « oubliante » :

• La catégorie intermédiaire contient toutes les algèbres possibles, avec une structure riche.
• Le foncteur oubliant perd davantage d'information, ramenant les algèbres à leurs objets sous-jacents.
• Cette adjonction montre comment une monade peut être représentée à travers la catégorie complète de ses algèbres.

Passage entre adjonctions

Les morphismes dans Adj_T permettent des transitions entre différentes adjonctions. Un foncteur K : D → D', satisfaisant les conditions d'adjonction, transforme effectivement une représentation de la monade en une autre.

Passer de l'adjonction de Kleisli à l'adjonction d'Eilenberg-Moore s'effectue via un foncteur envoyant les algèbres libres vers la catégorie de toutes les algèbres. Ce foncteur préserve la structure tout en élargissant le contexte.

Points clés sur le passage :

• Toute adjonction générant la monade T peut être reliée à l'adjonction de Kleisli et à l'adjonction d'Eilenberg-Moore via des morphismes dans Adj_T.
• Les transitions reflètent des niveaux variables d'« oubli » et de « reconstruction » de la structure.
• Cela permet d'analyser la monade à travers toute la gamme de ses réalisations possibles.

Exemple : la monade Option

Considérons la monade Option dans le contexte du filtrage. L'opération de la monade Option peut être représentée via l'adjonction de Kleisli, où la catégorie intermédiaire est composée d'objets pouvant contenir une « valeur manquante ».

Dans l'adjonction d'Eilenberg-Moore, les algèbres Option sont des objets munis d'une opération h : Option a → a qui « résout » la valeur manquante, retournant un élément concret ou exécutant une logique alternative.

Comparaison des deux approches pour Option :

• L'adjonction de Kleisli se concentre sur l'opération de la monade elle-même, avec une structure minimale.
• L'adjonction d'Eilenberg-Moore prend en compte toutes les façons possibles de gérer les valeurs manquantes via les algèbres.
• La transition entre adjonctions montre comment une opération monadique abstraite devient concrétisée par des implémentations différentes.

Ce qui compte

• Une monade peut être factorisée à travers des foncteurs adjoints passant par une catégorie intermédiaire.
• La catégorie de toutes les adjonctions générant une monade donnée possède un objet initial et un objet terminal — les adjonctions de Kleisli et d'Eilenberg-Moore.
• L'adjonction de Kleisli représente l'approche maximale de liberté, avec une structure intermédiaire minimale.
• L'adjonction d'Eilenberg-Moore illustre l'approche maximale d'oubli, avec une catégorie riche d'algèbres.
• Les transitions entre adjonctions via des morphismes dans Adj_T révèlent toute la gamme des réalisations possibles de la monade.

— Editorial Team