UKF Bayes pour GPS robuste en ville

# UKF robuste à Bayes variationnel pour GPS en canyons urbains : rejet d'outliers avec distribution de Student

Dans les canyons urbains, les signaux GPS subissent des réflexions multipaths et des obstructions, générant des outliers dans les pseudodistances. Le classique UKF de fusion avec bruit gaussien perd en précision, tandis que l'UKF de fusion à Bayes variationnel modélise le bruit par une distribution de Student. L'estimation itérative du paramètre d'échelle pondère automatiquement à la baisse les mesures aberrantes. Les simulations montrent une réduction de plus de 50 % de l'erreur quadratique moyenne (RMSE) de positionnement par rapport à l'UKF de base.

Robustesse via remplacement du modèle de bruit et fusion de capteurs

Les filtres de Kalman classiques supposent un bruit additif gaussien, mais les outliers GPS réels présentent des queues épaisses. Passer à une distribution de Student pondère les mesures selon les résidus : les grosses erreurs reçoivent un faible poids, évitant la déformation de la trajectoire.

Le poids est calculé comme $w = \frac{\nu + m}{\nu + d^2}$, où $\nu$ est les degrés de liberté, $m$ la dimension de la mesure, et $d^2$ la distance de Mahalanobis au carré. Avec un faible $\nu$ (ex. 2), les poids chutent rapidement pour les outliers ; avec un $\nu$ élevé ($\nu \to \infty$), cela tend vers le cas gaussien.

La fusion de capteurs associe GPS et données inertielle (IMU). Dans l'approche VB, les matrices de covariance $R_i$ pour chaque capteur sont estimées itérativement comme variables aléatoires, permettant une réallocation dynamique de la confiance.

Lors d'anomalies GPS, l'VB-UKF gonfle la variance $R_{GPS}$, réduisant son influence et s'appuyant sur l'IMU jusqu'à stabilisation du signal.

Protections dans l'implémentation

# 1. Limiter lambda à 1 pour éviter l'inadéquation du modèle
if self.cap_lambda_to_1:
    lamvec = np.minimum(lamvec, 1.0)
# 2. Éviter la division par zéro
lamvec = np.clip(lamvec, self.lambda_clip[0], self.lambda_clip[1])

Ces limitations empêchent des poids >1 (physiquement impossibles) et des NaN dus à des outliers extrêmes.

Complexité computationnelle et compromis

L'UKF classique utilise 2n+1 points sigma pour l'approximation non linéaire, avec une complexité $O(n^3)$ due aux inversions de matrices. L'VB-UKF ajoute des itérations pour l'inférence bayésienne variationnelle afin d'approximer le postérieur de Student par un gaussien.

L'inférence variationnelle minimise la divergence KL entre le vrai postérieur et l'approximation, convergeant en 5–10 itérations par étape. C'est un bon compromis : plus efficace que les filtres à particules ($O(N_p n^2)$, $N_p \gg 2n$), mais plus robuste que l'UKF standard.

Pour un flux en temps réel sur systèmes embarqués avec dynamiques jusqu'à 100 Hz, l'VB-UKF est parfaitement adapté.

Configuration de simulation : trajectoire CTRV

Modèle dynamique : Taux de virage et vitesse constants (CTRV) pour un véhicule manœuvrant en canyon urbain :

• État : $[x, y, v, \psi, \dot{\psi}]^T$
• Mesures GPS : $[x_{gps}, y_{gps}]$ avec outliers
• IMU : accéléromètre, gyroscope

Paramètres :

• Bruit GPS nominal : $\sigma_{gps} = 3$ m
• Outliers : sauts à 50–100 m avec probabilité 5–10 %
• $\nu = 4$ pour une sensibilité équilibrée
• Simulation : 1000 s, fréquence 10 Hz

Structure des données : mesures tamponnées horodatées, vecteur d'état 5D.

Résultats de simulation

Trajectoires et RMSE

Sur des trajectoires avec virages et outliers, l'UKF classique dérive de 20–50 m, tandis que l'VB-UKF maintient les erreurs <10 m. RMSE de positionnement : 7,2 m (VB) vs 18,5 m (UKF de fusion).

Le NIS (Normalized Innovation Squared) pour VB-UKF suit la distribution $\chi^2$, confirmant la modélisation correcte du bruit.

Adaptation des poids

Le mécanisme VB pondère dynamiquement à la baisse le GPS quand $d^2 > \nu$ : les graphiques montrent une chute de 1 à 0,1 en 2–3 étapes après un outlier, avec récupération en 5 étapes.

Réponse transitoire

Après un outlier, l'VB-UKF récupère la trajectoire en 10–20 étapes vs plus de 50 pour l'UKF de base. Le $R$ adaptatif lisse la transition.

Points clés

• L'VB-UKF divise par deux le RMSE en cas d'outliers GPS grâce à Student et estimation itérative de $R$.
• Pondération dynamique des capteurs sans heuristiques : priorité GPS/IMU gérée à la bayésienne.
• Coût calculatoire : 5–10 itérations/étape, adapté au temps réel.
• Réglage via $\nu$ : 2–4 pour robustesse agressive, >10 pour comportement gaussien.
• NIS/NEES valident la cohérence du modèle.

— Editorial Team