Analýza defektů nonce ECDSA secp256k1

Stratifikační analýza defektů nonce v ECDSA na křivce secp256k1

ECDSA podpisy nad křivkou secp256k1 jsou analyzovány jako fázové korpusy, kde se defekty generování nonce k projevují jako stabilní rodiny (defect-family), nikoli izolované poruchy. Přechod ke koordinátům (u_r, u_z) umožňuje odhalovat stratifikované vzory pomocí torické geometrie a kNN vyhledávání. Výzkum potvrzuje přenositelnost repeated-r vzorů ve 58 z 58 rekonstrukčních testů s úplnou validací podpisů, bez meziodresových kolizí ve vnějších korpusech.

Standardní ECDSA používá nonce k pro generaci bodu R = k·G, odkud r = x(R) mod n. Komponenta s se vypočítá jako s = k^{-1} · (z + r · d) mod n. Ověření zavádí w = s^{-1} mod n, u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n, s obnovením R' = u_z · G + u_r · Q, kde x(R') mod n = r.

Tyto koordináty (u_r, u_z) promítají podpis na tor Z_n × Z_n, odhalujíce geometrické metriky defektních režimů.

Teoretické základy a role nonce

Nonce k je klíčový: jeho opakování (repeated-r) ukazuje na systémový defekt generátoru, nikoli náhodnou poruchu. Ve fázovém zobrazení PhasePoint = (u_r, u_z, verification_x, verification_y_raw, branch_y), PhaseCorpus agreguje body jednoho adresního kontextu.

Klíčové vztahy ECDSA:

Q = d · G
R = k · G, r = x(R) mod n
s = k^{-1} · (z + r · d) mod n

w = s^{-1} mod n
u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n
R' = u_z · G + u_r · Q
x(R') mod n = r

Opakování r nastává při opakovaném k, čímž se u_r, u_z stávají značkami defect-family. Metoda kombinuje algebru ECDSA s perzistentní homologií a permutačními testy významnosti.

| Označení | Popis | Role v analýze |

|-------------|----------|---------------|

| G | Bazický bod | Generování R a Q |

| n | Řád podgrupy | Modul výpočtů |

| d | Soukromý klíč | Tajemství podepisujícího |

| k | Nonce | Zdroj defektů |

| (r,s) | Podpis | Pozorovatelná data |

| (u_r, u_z) | Fázové koordináty | Detekce vzorů |

Experimentální design a materiály

Objekt – korpusy podpisů secp256k1 jako sady PhasePoint. Předmět – znaky defect-family: repeated-r, geometrie (u_r, u_z), přenositelnost.

Hypotéza: defekty zanechávají stratifikované stopy na toru, repeated-r – povrch hlubokého režimu.

Metodologie:

• Přechod k fázovým koordinátům.
• kNN detektor a výsledky korpusu.
• Synthetic replay na řízených datech.
• Publication-safety audit.

Korpus: 30 adresních kontextů, 6257 podpisů. Repeated-r v 1 kontextu, meziodresových kolizí r – 0. Property sweep potvrdil přenositelnost pro 4 scénáře, rekonstrukce – 58/58 s ECDSA-validací. State entanglement – 0 detekcí. Audit odhalil 498 problémů (30 kritických), zablokoval publikaci citlivých dat.

Srovnání s komerčními nástroji:

| Charakteristika | Komerční (CertiK, Hacken) | ECDSA-Stratification-Suite |

|-----------------|--------------------------------|-----------------------------|

| Úkol | Zranitelnosti kontraktů | Defect-family v nonce |

| Aparát | Fuzzing, verifikace | Torická geometrie, kNN |

| Výstup | Zpráva o zranitelnostech | Klasifikace režimů |

| Publikum | Vývojáři, burzy | Laboratoře, standardy |

Výsledky a prokázaná tvrzení

Prokázán přenos defect-family z reálného dárce na 58 adresních cílů s kryptografickou validací. Ve vnějších korpusech spontánní přenos chybí.

Hranice: matematická přenositelnost prokázána, ale publikace vylučuje operational steps, raw r/s/z, recovery skripty. Sanitizovány agregáty pro reprodukovatelnost.

Kódové fragmenty pro synthetic replay (bezpečné):

import numpy as np
# Příklad generování PhasePoint (sanitizováno)
def phase_point(r, s, z, Q):
    n = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141  # secp256k1
    w = pow(s, -1, n)
    u_z = (z * w) % n
    u_r = (r * w) % n
    return (u_r, u_z)

Permutační kontroly významnosti na syntetice potvrzují stabilitu.

Reprodukovatelnost a publication safety

Projekt stanovuje hranice interpretace: vědecká přísnost nesnižuje práh zneužití. Synthetic-only kontrola a audit zajišťují bezpečný kontejner.

Vědecká novost: integrace ECDSA-algebry, torické geometrie Z_n × Z_n, korpusové analýzy a publication-safety.

Co je důležité:

• Repeated-r – indikátor defect-family, přenositelný v 58/58 testech.
• Fázové koordináty (u_r, u_z) odhalují stratifikaci na toru.
• Absence meziodresových kolizí r ve vnějších korpusech.
• Publication-safety blokuje 30 kritických rizik.
• Metoda je použitelná pro klasifikaci nonce-generátorů bez odhalení zranitelností.

— Editorial Team