Analyse von Nonce-Defekten ECDSA secp256k1

Schichtungsanalyse von Nonce-Defekten in ECDSA auf secp256k1

ECDSA-Signaturen auf der secp256k1-Kurve werden als Phasenkorpora analysiert, wobei Nonce-Generierungsdefekte sich als persistente Familien (Defekt-Familie) manifestieren, nicht als isolierte Fehler. Der Übergang zu (u_r, u_z)-Koordinaten ermöglicht die Erkennung geschichteter Muster durch torische Geometrie und kNN-Suche. Die Studie bestätigt die Übertragbarkeit von wiederholten-r-Mustern in 58 von 58 Rekonstruktionstests mit vollständiger Signaturvalidierung und keine Adressübergreifenden Kollisionen in externen Korpora.

Standard-ECDSA verwendet eine Nonce k, um den Punkt R = k·G zu generieren, woraus r = x(R) mod n. Die s-Komponente wird als s = k^{-1} · (z + r · d) mod n berechnet. Die Verifizierung führt w = s^{-1} mod n, u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n ein, mit Wiederherstellung von R' = u_z · G + u_r · Q, wobei x(R') mod n = r.

Diese (u_r, u_z)-Koordinaten projizieren die Signatur auf den Torus Z_n × Z_n und offenbaren geometrische Metriken defekter Modi.

Theoretische Grundlagen und die Rolle der Nonce

Die Nonce k ist entscheidend: Ihre Wiederholung (wiederholtes-r) deutet auf einen systemischen Generatordefekt hin, nicht auf einen zufälligen Fehler. In der Phasendarstellung PhasePoint = (u_r, u_z, verification_x, verification_y_raw, branch_y) aggregiert PhaseCorpus Punkte aus einem einzelnen Adresskontext.

Wichtige ECDSA-Beziehungen:

Q = d · G
R = k · G, r = x(R) mod n
s = k^{-1} · (z + r · d) mod n

w = s^{-1} mod n
u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n
R' = u_z · G + u_r · Q
x(R') mod n = r

Wiederholung von r tritt bei wiederholtem k auf, wodurch u_r, u_z Marker einer Defekt-Familie werden. Die Methode kombiniert ECDSA-Algebra mit persistenter Homologie und Permutationssignifikanztests.

| Notation | Beschreibung | Rolle in der Analyse |

|-------------|----------|---------------|

| G | Basispunkt | Generierung von R und Q |

| n | Untergruppenordnung | Rechenmodulus |

| d | Privater Schlüssel | Geheimnis des Signierers |

| k | Nonce | Quelle von Defekten |

| (r,s) | Signatur | Beobachtbare Daten |

| (u_r, u_z) | Phasenkoordinaten | Mustererkennung |

Experimentelles Design und Materialien

Objekt — secp256k1-Signaturkorpora als Mengen von PhasePoint. Subjekt — Defekt-Familien-Signaturen: wiederholtes-r, Geometrie von (u_r, u_z), Übertragbarkeit.

Hypothese: Defekte hinterlassen geschichtete Spuren auf dem Torus, wobei wiederholtes-r die Oberfläche eines tieferen Modus ist.

Methodik:

• Übergang zu Phasenkoordinaten.
• kNN-Detektor und Korpusresultanten.
• Synthetische Wiedergabe auf kontrollierten Daten.
• Publikationssicherheitsaudit.

Korpus: 30 Adresskontexte, 6257 Signaturen. Wiederholtes-r in 1 Kontext, adressübergreifende r-Kollisionen — 0. Eigenschaftssweep bestätigte Übertragbarkeit für 4 Szenarien, Rekonstruktion — 58/58 mit ECDSA-Validierung. Zustandsverschränkung — 0 Erkennungen. Audit identifizierte 498 Probleme (30 kritisch), blockierte Veröffentlichung sensibler Daten.

Vergleich mit kommerziellen Tools:

| Merkmal | Kommerziell (CertiK, Hacken) | ECDSA-Schichtungs-Suite |

|-----------------|--------------------------------|-----------------------------|

| Aufgabe | Vertragsschwachstellen | Defekt-Familie in Nonce |

| Apparat | Fuzzing, Verifizierung | Torische Geometrie, kNN |

| Ausgabe | Schwachstellenberichte | Modusklassifikation |

| Zielgruppe | Entwickler, Börsen | Labore, Normungsgremien |

Ergebnisse und bewiesene Aussagen

Bewiesene Übertragung der Defekt-Familie von einem realen Spender auf 58 Adressziele mit kryptografischer Validierung. Spontane Übertragung in externen Korpora nicht vorhanden.

Einschränkungen: Mathematische Übertragbarkeit bewiesen, aber Veröffentlichung schließt operative Schritte, rohe r/s/z, Wiederherstellungsskripte aus. Aggregate für Reproduzierbarkeit bereinigt.

Code-Schnipsel für synthetische Wiedergabe (sicher):

import numpy as np
# Beispiel PhasePoint-Generierung (bereinigt)
def phase_point(r, s, z, Q):
    n = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141  # secp256k1
    w = pow(s, -1, n)
    u_z = (z * w) % n
    u_r = (r * w) % n
    return (u_r, u_z)

Permutationssignifikanzprüfungen auf synthetischen Daten bestätigen Robustheit.

Reproduzierbarkeit und Publikationssicherheit

Das Projekt definiert Interpretationsgrenzen: Wissenschaftliche Strenge senkt nicht die Ausnutzungsschwelle. Nur synthetische Kontrolle und Audit gewährleisten eine sichere Pipeline.

Wissenschaftliche Neuheit: Integration von ECDSA-Algebra, torischer Geometrie von Z_n × Z_n, Korpusanalyse und Publikationssicherheit.

Wichtige Erkenntnisse:

• Wiederholtes-r ist ein Indikator einer Defekt-Familie, übertragbar in 58/58 Tests.
• Phasenkoordinaten (u_r, u_z) offenbaren Schichtung auf dem Torus.
• Keine adressübergreifenden r-Kollisionen in externen Korpora.
• Publikationssicherheit blockiert 30 kritische Risiken.
• Methode anwendbar zur Klassifizierung von Nonce-Generatoren ohne Offenlegung von Schwachstellen.

— Editorial Team