Analiza defektów nonce ECDSA secp256k1

Analiza stratyfikacyjna defektów nonce w ECDSA na krzywej secp256k1

Podpisy ECDSA na krzywej secp256k1 analizowane są jako korpusy fazowe, gdzie defekty generacji nonce k przejawiają się jako stabilne rodziny (defect-family), a nie izolowane awarie. Przejście do współrzędnych (u_r, u_z) umożliwia wykrywanie uwarstwionych wzorców poprzez geometrię toroidalną i wyszukiwanie kNN. Badanie potwierdza przenoszenie wzorców repeated-r w 58 z 58 testów rekonstrukcyjnych z pełną walidacją podpisów, bez kolizji międzyadresowych w zewnętrznych korpusach.

Standardowa ECDSA wykorzystuje nonce k do generacji punktu R = k·G, skąd r = x(R) mod n. Składowa s obliczana jest jako s = k^{-1} · (z + r · d) mod n. Weryfikacja wprowadza w = s^{-1} mod n, u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n, z odtworzeniem R' = u_z · G + u_r · Q, gdzie x(R') mod n = r.

Te współrzędne (u_r, u_z) rzutują podpis na tor Z_n × Z_n, odsłaniając geometryczne metryki wadliwych trybów.

Podstawy teoretyczne i rola nonce

Nonce k ma kluczowe znaczenie: jego powtórzenie (repeated-r) wskazuje na systemowy defekt generatora, a nie przypadkową awarię. W reprezentacji fazowej PhasePoint = (u_r, u_z, verification_x, verification_y_raw, branch_y), PhaseCorpus agreguje punkty jednego kontekstu adresowego.

Kluczowe zależności ECDSA:

Q = d · G
R = k · G, r = x(R) mod n
s = k^{-1} · (z + r · d) mod n

w = s^{-1} mod n
u_z = z · w mod n, u_r = r · w mod n
R' = u_z · G + u_r · Q
x(R') mod n = r

Powtórzenie r występuje przy ponownym użyciu k, czyniąc u_r, u_z markerami defect-family. Metoda łączy algebrę ECDSA z homologią trwałą i testami permutacyjnymi istotności.

| Oznaczenie | Opis | Rola w analizie |

|-------------|----------|---------------|

| G | Punkt bazowy | Generacja R i Q |

| n | Rząd podgrupy | Moduł obliczeń |

| d | Klucz prywatny | Tajemnica podpisującego |

| k | Nonce | Źródło defektów |

| (r,s) | Podpis | Dane obserwowane |

| (u_r, u_z) | Współrzędne fazowe | Detekcja wzorców |

Projekt eksperymentalny i materiały

Obiekt — korpusy podpisów secp256k1 jako zbiory PhasePoint. Przedmiot — cechy defect-family: repeated-r, geometria (u_r, u_z), przenoszenie.

Hipoteza: defekty pozostawiają uwarstwione ślady na torze, repeated-r — powierzchnia głębokiego trybu.

Metodologia:

• Przejście do współrzędnych fazowych.
• Detektor kNN i wynikowe korpusy.
• Synthetic replay na kontrolowanych danych.
• Audyt bezpieczeństwa publikacji.

Korpus: 30 kontekstów adresowych, 6257 podpisów. Repeated-r w 1 kontekście, kolizji międzyadresowych r — 0. Property sweep potwierdził przenoszenie dla 4 scenariuszy, rekonstrukcja — 58/58 z walidacją ECDSA. State entanglement — 0 detekcji. Audyt wykrył 498 problemów (30 krytycznych), blokując publikację wrażliwych danych.

Porównanie z narzędziami komercyjnymi:

| Charakterystyka | Komercyjne (CertiK, Hacken) | ECDSA-Stratification-Suite |

|-----------------|--------------------------------|-----------------------------|

| Zadanie | Podatności kontraktów | Defect-family w nonce |

| Aparat | Fuzzing, weryfikacja | Geometria toroidalna, kNN |

| Wynik | Raport podatności | Klasyfikacja trybów |

| Audytorium | Deweloperzy, giełdy | Laboratoria, standardy |

Wyniki i udowodnione twierdzenia

Udowodniono przenoszenie defect-family z rzeczywistego dawcy na 58 adresów docelowych z kryptograficzną walidacją. W zewnętrznych korpusach spontaniczne przenoszenie nie występuje.

Granice: matematyczna przenoszalność udowodniona, ale publikacja wyklucza kroki operacyjne, surowe r/s/z, skrypty odzyskiwania. Zsanitizowano agregaty dla odtwarzalności.

Fragmenty kodu dla synthetic replay (bezpieczne):

import numpy as np
# Przykład generacji PhasePoint (z sanitizacją)
def phase_point(r, s, z, Q):
    n = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141  # secp256k1
    w = pow(s, -1, n)
    u_z = (z * w) % n
    u_r = (r * w) % n
    return (u_r, u_z)

Testy permutacyjne istotności na danych syntetycznych potwierdzają stabilność.

Odtwarzalność i bezpieczeństwo publikacji

Projekt ustala granice interpretacji: ścisłość naukowa nie obniża progu eksploatacji. Kontrola synthetic-only i audyt zapewniają bezpieczny potok.

Nowość naukowa: integracja algebry ECDSA, geometrii toroidalnej Z_n × Z_n, analizy korpusowej i bezpieczeństwa publikacji.

Co ważne:

• Repeated-r — wskaźnik defect-family, przenoszony w 58/58 testach.
• Współrzędne fazowe (u_r, u_z) odsłaniają stratyfikację na torze.
• Brak kolizji międzyadresowych r w zewnętrznych korpusach.
• Bezpieczeństwo publikacji blokuje 30 krytycznych ryzyk.
• Metoda stosowana do klasyfikacji generatorów nonce bez ujawniania podatności.

— Editorial Team