Problém tří těles: rovnice a periodické dráhy

# Matematické modelování problému tří těles: od rovnic k periodickým orbitám

Problém tří těles vyžaduje výpočet trajektorií tří masivních objektů pod vlivem gravitačního přitažlivosti podle Newtonova zákona. Počáteční podmínky určují polohy a rychlosti těles v 3D prostoru, což vede k systému z 18 nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu.

Pro úplný problém jsou souřadnice a rychlosti každého tělesa spojeny zrychleními závislými na vzájemných vzdálenostech. Normalizované hmoty (poměr k maximální) zjednodušují výpočty. Zde je systém ve formě prvních derivací:

X1'  = VX1
Y1'  = VY1
Z1'  = VZ1
X2'  = VX2
Y2'  = VY2
Z2'  = VZ2
X3'  = VX3
Y3'  = VY3
Z3'  = VZ3
VX1' = -m2*(X1-X2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(X1-X3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VY1' = -m2*(Y1-Y2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Y1-Y3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VZ1' = -m2*(Z1-Z2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Z1-Z3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VX2' = -m3*(X2-X3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VY2' = -m3*(Y2-Y3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VZ2' = -m3*(Z2-Z3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Z2-Z1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VX3' = -m1*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(X3-X2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VY3' = -m1*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Y3-Y2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VZ3' = -m1*(Z3-Z1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Z3-Z2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5

Zjednodušené varianty: plošný a omezený problém

Plošný problém (P3BP) je omezen na 2D prostor, čímž se rovnice zkrátí na 12. Tělesa zde zůstávají v rovině dané počátečními podmínkami.

Pro plošný problém:

X1'  = VX1
X2'  = VX2
X3'  = VX3
Y1'  = VY1
Y2'  = VY2
Y3'  = VY3
VX1' = m2*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VX2' = m3*(X3-X2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(X1-X2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VX3' = m1*(X1-X3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m2*(X2-X3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5
VY1' = m2*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VY2' = m3*(Y3-Y2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(Y1-Y2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VY3' = m1*(Y1-Y3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m3*(Y2-Y3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5

Omezený problém (PR3BP) předpokládá malou hmotu třetího tělesa. Rovnice pro jeho pohyb:

X' = VX
Y' = VY
VX' = X+2*Y4-m1*(X+m2)/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*(X-m1)/((X-m1)^2+Y^2)^1.5
VY' = Y-2*Y3-m1*Y/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*Y/((X-m1)^2+Y^2)^1.5

Kruhový omezený problém (CR3BP) modeluje loď v systému dvou těles s kruhovou orbitou menšího. Používá se parametr μ = m2 / (m1 + m2):

X' = VX
Y' = VY
z' = VZ
VX' = 2*VY+X-(1-mu) * (X+mu)/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * (X-1+mu)/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VY' = -2*VX+Y-(1-mu) * Y/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Y/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VZ' = -(1-mu) * Z/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Z/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5

Tyto systémy se řeší numerickými metodami v Mathematica, Python (SciPy) nebo MATLAB.

Analytická řešení: Euler a Lagrange

Jediná známá analytická řešení jsou kolineární Eulerova (1767) a trojúhelníková Lagrangeova (1772). V případě Lagrangea tělesa startují ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku se sladěnými rychlostmi. Trajektorie jsou elipsy otočené o 120°; tělesa zachovávají trojúhelníkovou konfiguraci.

Řešení jsou nestabilní: malé odchylky počátečních podmínek vedou k chaosu. Praxe vyžaduje přesnost až do 10^{-10}.

Periodické orbity v plošném problému

Henri Poincaré prokázal nekonečnost periodických řešení pro stejné hmoty. Počítačové pátrání odhalilo rodiny se symetrií.

• Rodina Brooka–Ena–Hadžidimitrioua (1975): 8- a 16-symbolové orbity. Příklad R4 (perioda 5.4):

```

T0 = 0, T1 = 5.4

X1(T0) = 0.8733047091, X2(T0) = -0.6254030288, X3(T0) = -0.2479016803

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0, VX2(T0) = 0, VX3(T0) = 0

VY1(T0) = 1.010776444, VY2(T0) = -1.683353346, VY3(T0) = 0.6725769022

```

• Rodina Šuvakova–Dmitrašinoviče (2013): Dragonfly (perioda 22):

```

T0 = 0, T1 = 22

X1(T0) = -1, X2(T0) = 1, X3(T0) = 0

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0.08058, VX2(T0) = 0.08058, VX3(T0) = -0.16116

VY1(T0) = 0.58884, VY2(T0) = 0.58884, VY3(T0) = -1.17768

```

Další: Butterfly, Moth, Goggles, Yin-Yang.

• Rodina Šina (2016): Oválník, kočičí tvar (perioda 5.1).

Pro reprodukci použijte Runge-Kutta 8. řádu s adaptivním krokem.

Co je důležité

• Úplný problém vyžaduje 18 rovnic; zjednodušení snižují na 4–6 pro praktické simulace.
• Analytická řešení Eulara/Lagrangea jsou nestabilní, aplikují se pouze v ideálních podmínkách.
• Periodické orbity se objevují numerickými metodami; rodiny Brooka, Šuvakova obsahují stovky variant.
• Počáteční podmínky se zadávají s vysokou přesností pro periodicitu.
• CR3BP je klíčové pro mise NASA/ESA: manévry v systémech Země–Měsíc, Slunce–Jupiter.

— Editorial Team