Problème à trois corps : Équations et orbites périodiques

Modélisation mathématique du problème des trois corps : des équations aux orbites périodiques

Le problème des trois corps consiste à calculer les trajectoires de trois objets massifs soumis à la loi de gravitation universelle de Newton. Les conditions initiales spécifient les positions et les vitesses des corps dans l'espace 3D, menant à un système de 18 équations différentielles du second ordre non linéaires.

Dans le problème complet, les coordonnées et les vitesses de chaque corps sont liées à des accélérations qui dépendent de leurs distances mutuelles. Les masses normalisées (rapport au maximum) simplifient les calculs. Voici le système sous forme de dérivées premières :

X1'  = VX1
Y1'  = VY1
Z1'  = VZ1
X2'  = VX2
Y2'  = VY2
Z2'  = VZ2
X3'  = VX3
Y3'  = VY3
Z3'  = VZ3
VX1' = -m2*(X1-X2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(X1-X3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VY1' = -m2*(Y1-Y2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Y1-Y3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VZ1' = -m2*(Z1-Z2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Z1-Z3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VX2' = -m3*(X2-X3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VY2' = -m3*(Y2-Y3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VZ2' = -m3*(Z2-Z3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Z2-Z1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VX3' = -m1*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(X3-X2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VY3' = -m1*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Y3-Y2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VZ3' = -m1*(Z3-Z1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Z3-Z2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5

Variantes simplifiées : problèmes planaires et restreints

Le problème plan (P3BP) est restreint à l'espace 2D, réduisant les équations à 12. Ici, les corps restent dans le plan défini par les conditions initiales.

Pour le problème plan :

X1'  = VX1
X2'  = VX2
X3'  = VX3
Y1'  = VY1
Y2'  = VY2
Y3'  = VY3
VX1' = m2*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VX2' = m3*(X3-X2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(X1-X2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VX3' = m1*(X1-X3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m2*(X2-X3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5
VY1' = m2*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VY2' = m3*(Y3-Y2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(Y1-Y2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VY3' = m1*(Y1-Y3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m3*(Y2-Y3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5

Le problème restreint (PR3BP) suppose une masse faible pour le troisième corps. Équations pour son mouvement :

X' = VX
Y' = VY
VX' = X+2*Y4-m1*(X+m2)/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*(X-m1)/((X-m1)^2+Y^2)^1.5
VY' = Y-2*Y3-m1*Y/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*Y/((X-m1)^2+Y^2)^1.5

Le problème restreint circulaire (CR3BP) modélise un vaisseau spatial dans un système de deux corps avec le plus petit en orbite circulaire. Le paramètre μ = m2 / (m1 + m2) est utilisé :

X' = VX
Y' = VY
z' = VZ
VX' = 2*VY+X-(1-mu) * (X+mu)/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * (X-1+mu)/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VY' = -2*VX+Y-(1-mu) * Y/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Y/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VZ' = -(1-mu) * Z/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Z/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5

Ces systèmes sont résolus à l'aide de méthodes numériques dans Mathematica, Python (SciPy), ou MATLAB.

Solutions analytiques : Euler et Lagrange

Les seules solutions analytiques connues sont les solutions colinéaires d'Euler (1767) et les solutions triangulaires de Lagrange (1772). Dans le cas de Lagrange, les corps démarrent aux sommets d'un triangle équilatéral avec des vitesses correspondantes. Les trajectoires sont des ellipses tournées de 120° ; les corps maintiennent la configuration triangulaire.

Ces solutions sont instables : de petites déviations dans les conditions initiales mènent au chaos. Les implémentations pratiques requièrent une précision à 10^{-10}.

Orbites périodiques dans le problème plan

Henri Poincaré a prouvé l'existence d'un nombre infini de solutions périodiques pour des masses égales. Les recherches informatiques ont révélé des familles à symétrie.

• Famille Broucke-Enò-Hadjidimitriou (1975) : orbites à 8 et 16 symboles. Exemple R4 (période 5.4) :

```

T0 = 0, T1 = 5.4

X1(T0) = 0.8733047091, X2(T0) = -0.6254030288, X3(T0) = -0.2479016803

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0, VX2(T0) = 0, VX3(T0) = 0

VY1(T0) = 1.010776444, VY2(T0) = -1.683353346, VY3(T0) = 0.6725769022

```

• Famille Shuvakov-Dmitrashinovich (2013) : Libellule (période 22) :

```

T0 = 0, T1 = 22

X1(T0) = -1, X2(T0) = 1, X3(T0) = 0

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0.08058, VX2(T0) = 0.08058, VX3(T0) = -0.16116

VY1(T0) = 0.58884, VY2(T0) = 0.58884, VY3(T0) = -1.17768

```

Autres : Papillon, Phalène, Lunettes, Yin-Yang.

• Famille Shin (2016) : Ovale, visage de chat (période 5.1).

Pour les reproduire, utiliser Runge-Kutta d'ordre 8 avec pas de taille adaptative.

Points clés

• Le problème complet nécessite 18 équations ; les simplifications le réduisent à 4–6 pour les simulations pratiques.
• Les solutions analytiques Euler/Lagrange sont instables et ne s'appliquent qu'en conditions idéales.
• Les orbites périodiques sont trouvées par méthodes numériques ; les familles Broucke et Shuvakov contiennent des centaines de variantes.
• Les conditions initiales doivent être spécifiées avec une haute précision pour assurer la périodicité.
• Le CR3BP est crucial pour les missions NASA/ESA : manœuvres dans les systèmes Terre-Lune et Soleil-Jupiter.

— Editorial Team