Dreikörperproblem: Gleichungen und Periodische Bahnen

Mathematische Modellierung des Dreikörperproblems: Von Gleichungen zu periodischen Bahnen

Das Dreikörperproblem besteht darin, die Trajektorien dreier massereicher Objekte unter Newtons Gravitationsgesetz zu berechnen. Anfangsbedingungen legen die Positionen und Geschwindigkeiten der Körper im 3D-Raum fest und führen zu einem System aus 18 nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Im vollständigen Problem sind die Koordinaten und Geschwindigkeiten jedes Körpers mit Beschleunigungen verknüpft, die von ihren gegenseitigen Abständen abhängen. Normalisierte Massen (Verhältnis zum Maximum) vereinfachen die Berechnungen. Hier ist das System in Form erster Ableitungen:

X1'  = VX1
Y1'  = VY1
Z1'  = VZ1
X2'  = VX2
Y2'  = VY2
Z2'  = VZ2
X3'  = VX3
Y3'  = VY3
Z3'  = VZ3
VX1' = -m2*(X1-X2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(X1-X3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VY1' = -m2*(Y1-Y2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Y1-Y3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VZ1' = -m2*(Z1-Z2)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5-m3*(Z1-Z3)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5
VX2' = -m3*(X2-X3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VY2' = -m3*(Y2-Y3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VZ2' = -m3*(Z2-Z3)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2)^1.5-m1*(Z2-Z1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2)^1.5
VX3' = -m1*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(X3-X2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VY3' = -m1*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Y3-Y2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5
VZ3' = -m1*(Z3-Z1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2)^1.5-m2*(Z3-Z2)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2+(Z3-Z2)^2)^1.5

Vereinfachte Varianten: Planare und restringierte Probleme

Das planare Problem (P3BP) ist auf den 2D-Raum beschränkt und reduziert die Gleichungen auf 12. Hier bleiben die Körper in der durch die Anfangsbedingungen definierten Ebene.

Für das planare Problem:

X1'  = VX1
X2'  = VX2
X3'  = VX3
Y1'  = VY1
Y2'  = VY2
Y3'  = VY3
VX1' = m2*(X2-X1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(X3-X1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VX2' = m3*(X3-X2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(X1-X2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VX3' = m1*(X1-X3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m2*(X2-X3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5
VY1' = m2*(Y2-Y1)/((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)^1.5+m3*(Y3-Y1)/((X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2)^1.5
VY2' = m3*(Y3-Y2)/((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)^1.5+m1*(Y1-Y2)/((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2)^1.5
VY3' = m1*(Y1-Y3)/((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)^1.5+m3*(Y2-Y3)/((X3-X2)^2+(Y3-Y2)^2)^1.5

Das restringierte Problem (PR3BP) geht von einer kleinen Masse für den dritten Körper aus. Gleichungen für seine Bewegung:

X' = VX
Y' = VY
VX' = X+2*Y4-m1*(X+m2)/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*(X-m1)/((X-m1)^2+Y^2)^1.5
VY' = Y-2*Y3-m1*Y/((X+m2)^2+Y^2)^1.5-m2*Y/((X-m1)^2+Y^2)^1.5

Das kreisförmig restringierte Problem (CR3BP) modelliert ein Raumschiff in einem System aus zwei Körpern, wobei der kleinere in einer kreisförmigen Bahn verläuft. Der Parameter μ = m2 / (m1 + m2) wird verwendet:

X' = VX
Y' = VY
z' = VZ
VX' = 2*VY+X-(1-mu) * (X+mu)/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * (X-1+mu)/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VY' = -2*VX+Y-(1-mu) * Y/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Y/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5
VZ' = -(1-mu) * Z/((X+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5-mu * Z/((X-1+mu)^2+Y^2+Z^2)^1.5

Diese Systeme werden mit numerischen Methoden in Mathematica, Python (SciPy) oder MATLAB gelöst.

Analytische Lösungen: Euler und Lagrange

Die einzigen bekannten analytischen Lösungen sind Eulers kollineare Lösungen (1767) und Lagranges dreieckige Lösungen (1772). Im Lagrange-Fall starten die Körper an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit passenden Geschwindigkeiten. Die Trajektorien sind Ellipsen, die um 120° rotiert sind; die Körper bewahren die dreieckige Konfiguration.

Diese Lösungen sind instabil: Kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen führen zu Chaos. Praktische Umsetzungen erfordern eine Präzision bis zu 10^{-10}.

Periodische Bahnen im planareren Problem

Henri Poincaré bewies die Existenz unendlich vieler periodischer Lösungen bei gleichen Massen. Computersuchen haben Familien mit Symmetrie enthüllt.

• Broucke-Enò-Hadjidimitriou-Familie (1975): 8- und 16-Symbol-Bahnen. Beispiel R4 (Periode 5,4):

```

T0 = 0, T1 = 5.4

X1(T0) = 0.8733047091, X2(T0) = -0.6254030288, X3(T0) = -0.2479016803

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0, VX2(T0) = 0, VX3(T0) = 0

VY1(T0) = 1.010776444, VY2(T0) = -1.683353346, VY3(T0) = 0.6725769022

```

• Shuvakov-Dmitrashinovich-Familie (2013): Libelle (Periode 22):

```

T0 = 0, T1 = 22

X1(T0) = -1, X2(T0) = 1, X3(T0) = 0

Y1(T0) = 0, Y2(T0) = 0, Y3(T0) = 0

VX1(T0) = 0.08058, VX2(T0) = 0.08058, VX3(T0) = -0.16116

VY1(T0) = 0.58884, VY2(T0) = 0.58884, VY3(T0) = -1.17768

```

Andere: Schmetterling, Motte, Brille, Yin-Yang.

• Shin-Familie (2016): Oval, Katzenge-sicht (Periode 5,1).

Zur Reproduktion Runge-Kutta 8. Ordnung mit adaptivem Schritt verwenden.

Wichtige Punkte

• Das vollständige Problem erfordert 18 Gleichungen; Vereinfachungen reduzieren es auf 4–6 für praktische Simulationen.
• Euler/Lagrange-analytische Lösungen sind instabil und gelten nur unter idealen Bedingungen.
• Periodische Bahnen werden mit numerischen Methoden gefunden; Broucke- und Shuvakov-Familien enthalten Hunderte Varianten.
• Anfangsbedingungen müssen mit hoher Präzision für Periodizität angegeben werden.
• CR3BP ist entscheidend für NASA/ESA-Missionen: Manöver in Erde-Mond- und Sonne-Jupiter-Systemen.

— Editorial Team