NEES/NIS diagnostika filtrů Kalmana při nelinearitě

# Diagnostika filtrů Kalmana při nelinearitě a negaussovských šumech: NEES/NIS-analýza KF, UKF a Particle Filter

Filtr Kalmana zůstává základním nástrojem odhadu stavu v úlohách navigace, robotiky a zpracování signálů. Jeho klasická forma však předpokládá lineární dynamiku a gaussovské šumy – podmínky, které se v reálných systémech vzácně splňují. Článek se zabývá tím, jak se chovají tři populární přístupy – lineární filtr Kalmana (KF), sigma-točkový filtr (UKF) a filtr částic (PF) – při porušení těchto předpokladů a jaké metriky umožňují objektivně posoudit jejich funkčnost.

Proč je gaussovskost důležitá – a kdy není nutná

Filtr Kalmana je optimální z hlediska minimalizace střední kvadratické chyby pouze v lineárně-gaussovské formulaci. To vyplývá ze dvou klíčových vlastností normálního rozdělení: uzavřenosti vůči affinním transformacím a konjugovanosti pravděpodobnosti při bayesovské aktualizaci. Při porušení gaussovskosti tyto vlastnosti zanikají, ale rekurze podle střední hodnoty a kovariancí zůstává vypočitatelná. Výsledkem je, že KF nadále funguje, ale jeho odhady přestávají být optimální a kovariační matice může nesprávně odrážet skutečnou neurčitost.

V praxi se to projevuje nadměrnou nebo nedostatečnou důvěrou filtru ve své odhady, což je obzvláště kritické v systémech rozhodování. Například při přítomnosti výletů v měřeních se KF může "zanesením" a začne odchylovat od skutečné trajektorie, zatímco adaptivní metody si udržují odolnost.

Experimentální schéma: 2×2 faktorální design

Pro systematickou analýzu byl implementován simulátor v Pythonu s použitím pouze NumPy a SciPy. Architektura zajišťuje čistotu experimentu: filtry dostávají výhradně zašuměná měření bez přístupu k pravému stavu.

Scénáře simulace jsou organizovány podle principu úplného faktorálního experimentu:

• Lineární dynamika + gaussovské šumy – referenční případ.
• Lineární dynamika + negaussovské šumy – test odolnosti vůči anomáliím.
• Nelineární dynamika + gaussovské šumy – test schopnosti zohlednit nelinearitu.
• Nelineární dynamika + negaussovské šumy – stresový test pro všechny algoritmy.

Nelineární model byl speciálně navržen pro zesílení efektů:

x₁[k+1] = x₁[k] + x₂[k] + 0.5·sin(x₁[k])
x₂[k+1] = 0.8·x₂[k] + 0.2·cos(x₁[k])

Měření zahrnují kvadratickou závislost: y₂ = x₂² + η₂, což vede k ztrátě informace o znaménku rychlosti a vytváří lokální bimodalitu.

Šumy procesu jsou modelovány jako směs gaussovských (pozadí + výlety), zatímco šumy měření mají laplaceovské rozdělení s těžkými ocasy.

Metriky hodnocení: RMSE, NEES a NIS

Tři metriky byly použity pro komplexní hodnocení:

• RMSE (Root Mean Square Error) – celková míra přesnosti, ale neinformuje o shodě neurčitosti.
• NEES (Normalized Estimated Error Squared) – ukazuje, do jaké míry se empirická chyba shoduje s predikovanou kovariancí. Pro správný filtr musí NEES následovat χ²-rozdělení s n stupni svobody (n – dimenze stavu).
• NIS (Normalized Innovation Squared) – analog NEES pro provozní režim, kdy pravý stav není dostupný. Založen na inovacích (rozdílech mezi měřeními a predikcí).

Výsledky ukázaly, že:

• V lineárně-gaussovském případě všechny filtry vykazují srovnatelné hodnoty RMSE a NEES leží v důvěřovacím intervalu χ².
• Při negaussovských šumech KF zachovává funkčnost, ale NEES systematicky vychází za hranice, což naznačuje podhodnocení neurčitosti.
• UKF lépe zvládá nelinearitu, ale je citlivý na negaussovskost měření kvůli zachování gaussovského předpokladu.
• PF vykazuje nejlepší shodu podle NEES ve všech scénářích, zejména při multimodálních a těžkohvostých šumech.

Praktické doporučení pro výběr filtru

Na základě experimentů lze formulovat následující doporučení:

• Používejte KF, pokud je systém blízko lineárnímu a šumy se mírně odchylují od gaussovskosti (např. slabé výlety). To zajistí minimální výpočetní nároky.
• Přejděte na UKF, pokud je nelinearita významná, ale šumy zůstávají gaussovské nebo k nim blízké. UKF efektivně aproximuje nelineární transformace bez růstu dimenze.
• Vyberte PF, když jsou šumy zjevně negaussovské (výlety, multimodalita) nebo je pozorovatelnost systému narušená (např. kvadratická měření). Nevýhodou je vysoká výpočetní složitost a riziko degenerace částic.

Důležité je pravidelně monitorovat NIS v reálných systémech: trvalé překročení prahu χ² signalizuje potřebu revize modelu šumů nebo přechod k flexibilnějšímu filtru.

Co je důležité

• Filtr Kalmana se při negaussovských šumech „nepoláme“, ale ztrácí optimalitu a shodu.
• NEES – klíčová metrika pro validaci filtru v simulaci; NIS – pro diagnostiku v reálném čase.
• UKF kompenzuje nelinearitu, ale neřeší problém negaussovskosti.
• Filtr částic je nejuniverzálnější, ale vyžaduje pečlivé ladění a velké zdroje.
• Kombinace nelinearity a negaussovských šumů vytváří největší potíže pro všechny přístupy.

— Editorial Team