Diagnóstico NEES/NIS de Filtros de Kalman bajo No Linealidad

# # Diagnóstico de filtros de Kalman bajo no linealidad y ruidos no gaussianos: Análisis NEES/NIS de KF, UKF y filtro de partículas

El filtro de Kalman sigue siendo una herramienta fundamental para la estimación de estados en tareas de navegación, robótica y procesamiento de señales. Sin embargo, su forma clásica asume dinámicas lineales y ruidos gaussianos, condiciones que rara vez se cumplen en sistemas del mundo real. Este artículo examina cómo tres enfoques populares —el filtro de Kalman lineal (KF), el filtro de Kalman sin centelleo (UKF) y el filtro de partículas (PF)— se desempeñan cuando estas suposiciones se violan, y qué métricas permiten una evaluación objetiva de su rendimiento.

Por qué importa la gaussianidad —y cuándo no es esencial

El filtro de Kalman es óptimo en términos de minimizar el error cuadrático medio solo en el contexto lineal-gaussiano. Esto se deriva de dos propiedades clave de la distribución normal: cierre bajo transformaciones afines y conjugación de la verosimilitud en actualizaciones bayesianas. Cuando se viola la gaussianidad, se pierden estas propiedades, pero la recursión sobre media y covarianza sigue siendo computacionalmente tratable. Como resultado, el KF continúa funcionando, pero sus estimaciones ya no son óptimas y la matriz de covarianza puede reflejar de manera inexacta la incertidumbre real.

En la práctica, esto se manifiesta como sobreconfianza o subconfianza en las estimaciones del filtro, lo cual es especialmente crítico en sistemas de toma de decisiones. Por ejemplo, con valores atípicos en las mediciones, el KF puede "atasascarse" y comenzar a divergir de la trayectoria real, mientras que los métodos adaptativos mantienen la robustez.

Configuración experimental: Diseño factorial 2×2

Se implementó un simulador en Python usando solo NumPy y SciPy para un análisis sistemático. La arquitectura garantiza pureza experimental: los filtros reciben solo mediciones ruidosas sin acceso al estado verdadero.

Los escenarios de simulación se organizan como un experimento factorial completo:

• Dinámicas lineales + ruidos gaussianos — caso base.
• Dinámicas lineales + ruidos no gaussianos — verificación de robustez contra anomalías.
• Dinámicas no lineales + ruidos gaussianos — prueba de manejo de no linealidad.
• Dinámicas no lineales + ruidos no gaussianos — prueba de estrés para todos los algoritmos.

El modelo no lineal está diseñado específicamente para amplificar efectos:

x₁[k+1] = x₁[k] + x₂[k] + 0.5·sin(x₁[k])
x₂[k+1] = 0.8·x₂[k] + 0.2·cos(x₁[k])

Las mediciones incluyen una dependencia cuadrática: y₂ = x₂² + η₂, que pierde información sobre el signo de la velocidad y crea bimodalidad local.

Los ruidos de proceso se modelan como mezclas gaussianas (fondo + valores atípicos) y los ruidos de medición como distribución de Laplace con colas pesadas.

Métricas de evaluación: RMSE, NEES y NIS

Se utilizaron tres métricas para una evaluación integral:

• RMSE (raíz del error cuadrático medio) — medida general de precisión, pero poco informativa sobre la consistencia de la incertidumbre.
• NEES (error estimado normalizado al cuadrado) — muestra qué tan bien el error empírico coincide con la covarianza predicha. Para un filtro correcto, NEES debe seguir una distribución χ² con n grados de libertad (n = dimensión del estado).
• NIS (innovación normalizada al cuadrado) — análogo de NEES para modo operativo sin verdad terreno. Basado en innovaciones (diferencias entre mediciones y predicciones).

Los resultados mostraron que:

• En el caso lineal-gaussiano, todos los filtros exhiben valores de RMSE similares, con NEES dentro del intervalo de confianza χ².
• Con ruidos no gaussianos, el KF mantiene la funcionalidad, pero NEES excede sistemáticamente los límites, indicando subestimación de la incertidumbre.
• El UKF maneja mejor la no linealidad, pero es sensible al ruido de medición no gaussiano debido a la suposición gaussiana retenida.
• El PF muestra la mejor consistencia de NEES en todos los escenarios, especialmente con ruidos multimodales y de colas pesadas.

Recomendaciones prácticas para la selección de filtros

Basado en los experimentos, se pueden hacer las siguientes recomendaciones:

• Usar KF si el sistema está cerca de ser lineal y los ruidos solo se desvían levemente de la gaussianidad (p. ej., valores atípicos débiles). Esto asegura un costo computacional mínimo.
• Cambiar a UKF si la no linealidad es significativa pero los ruidos siguen siendo gaussianos o casi. El UKF aproxima efectivamente transformaciones no lineales sin aumento de dimensionalidad.
• Elegir PF cuando los ruidos son claramente no gaussianos (valores atípicos, multimodalidad) o la observabilidad está deteriorada (p. ej., mediciones cuadráticas). Desventaja: alta complejidad computacional y riesgo de agotamiento de partículas.

Es crucial monitorear regularmente el NIS en sistemas reales: un exceso sostenido del umbral χ² indica la necesidad de revisar los modelos de ruido o cambiar a un filtro más flexible.

Lecciones clave

• El filtro de Kalman no "se rompe" bajo ruidos no gaussianos, pero pierde optimalidad y consistencia.
• NEES es la métrica clave para validación de filtros en simulación; NIS para diagnósticos en tiempo real.
• El UKF compensa la no linealidad pero no resuelve la no gaussianidad.
• El filtro de partículas es el más versátil pero requiere ajuste cuidadoso y recursos sustanciales.
• La combinación de no linealidad y ruidos no gaussianos representa el mayor desafío para todos los enfoques.

— Editorial Team