Diagnostic NEES/NIS des filtres de Kalman sous non-linéarité

Diagnostic des filtres de Kalman sous non-linéarité et bruits non gaussiens : Analyse NEES/NIS des KF, UKF et filtre à particules

Le filtre de Kalman reste un outil fondamental pour l'estimation d'état dans la navigation, la robotique et le traitement du signal. Cependant, sa forme classique suppose des dynamiques linéaires et des bruits gaussiens — des conditions rarement remplies dans les systèmes réels. Cet article examine comment trois approches populaires — le filtre de Kalman linéaire (KF), le filtre de Kalman sans trace (UKF) et le filtre à particules (PF) — se comportent lorsque ces hypothèses sont violées, et quelles métriques permettent une évaluation objective de leurs performances.

Pourquoi la gaussianité compte — et quand elle n'est pas essentielle

Le filtre de Kalman est optimal en termes de minimisation de l'erreur quadratique moyenne uniquement dans le cadre linéaire-gaussien. Cela découle de deux propriétés clés de la distribution normale : la fermeture sous transformations affines et la conjugaison de la vraisemblance dans les mises à jour bayésiennes. Lorsque la gaussianité est violée, ces propriétés sont perdues, mais la récursion sur la moyenne et la covariance reste calculable numériquement. Résultat : le KF continue de fonctionner, mais ses estimations ne sont plus optimales et la matrice de covariance peut refléter de manière inexacte l'incertitude réelle.

En pratique, cela se manifeste par une surconfiance ou une sous-confiance dans les estimations du filtre, ce qui est particulièrement critique dans les systèmes de prise de décision. Par exemple, en présence d'outliers dans les mesures, le KF peut se « boucher » et commencer à diverger de la trajectoire réelle, tandis que les méthodes adaptatives conservent leur robustesse.

Configuration expérimentale : Plan factoriel 2×2

Un simulateur Python utilisant uniquement NumPy et SciPy a été implémenté pour une analyse systématique. L'architecture garantit la pureté expérimentale : les filtres ne reçoivent que des mesures bruitées, sans accès à l'état réel.

Les scénarios de simulation sont organisés comme une expérience factorielle complète :

• Dynamiques linéaires + bruits gaussiens — cas de référence.
• Dynamiques linéaires + bruits non gaussiens — vérification de robustesse face aux anomalies.
• Dynamiques non linéaires + bruits gaussiens — test de gestion de la non-linéarité.
• Dynamiques non linéaires + bruits non gaussiens — test de résistance pour tous les algorithmes.

Le modèle non linéaire est spécifiquement conçu pour amplifier les effets :

x₁[k+1] = x₁[k] + x₂[k] + 0.5·sin(x₁[k])
x₂[k+1] = 0.8·x₂[k] + 0.2·cos(x₁[k])

Les mesures incluent une dépendance quadratique : y₂ = x₂² + η₂, qui perd l'information sur le signe de la vitesse et crée une bimodalité locale.

Les bruits de processus sont modélisés comme des mélanges gaussiens (fond + outliers), et les bruits de mesure comme une distribution de Laplace à queues lourdes.

Métriques d'évaluation : RMSE, NEES et NIS

Trois métriques ont été utilisées pour une évaluation complète :

• RMSE (Root Mean Square Error) — mesure globale de précision, mais peu informative sur la cohérence de l'incertitude.
• NEES (Normalized Estimated Error Squared) — indique à quel point l'erreur empirique correspond à la covariance prédite. Pour un filtre correct, la NEES doit suivre une distribution χ² avec n degrés de liberté (n = dimension de l'état).
• NIS (Normalized Innovation Squared) — analogue de la NEES en mode opérationnel sans vérité terrain. Basée sur les innovations (différences entre mesures et prédictions).

Les résultats ont montré que :

• Dans le cas linéaire-gaussien, tous les filtres présentent des valeurs de RMSE similaires, avec NEES dans l'intervalle de confiance χ².
• Avec des bruits non gaussiens, le KF conserve sa fonctionnalité, mais la NEES dépasse systématiquement les bornes, indiquant une sous-estimation de l'incertitude.
• L'UKF gère mieux la non-linéarité mais est sensible au bruit de mesure non gaussien en raison de l'hypothèse gaussienne conservée.
• Le PF montre la meilleure cohérence de NEES dans tous les scénarios, en particulier avec des bruits multimodaux et à queues lourdes.

Recommandations pratiques pour le choix du filtre

Sur la base des expériences, les recommandations suivantes peuvent être formulées :

• Utilisez KF si le système est proche de la linéarité et que les bruits ne s'écartent que modérément de la gaussianité (p. ex., outliers faibles). Cela garantit un coût computationnel minimal.
• Passez à UKF si la non-linéarité est significative mais que les bruits restent gaussiens ou quasi-gaussiens. L'UKF approxime efficacement les transformations non linéaires sans augmentation de dimensionnalité.
• Choisissez PF lorsque les bruits sont clairement non gaussiens (outliers, multimodalité) ou que l'observabilité est altérée (p. ex., mesures quadratiques). Inconvénient : complexité computationnelle élevée et risque d'appauvrissement des particules.

Il est crucial de surveiller régulièrement la NIS dans les systèmes réels : un dépassement soutenu du seuil χ² signale la nécessité de réviser les modèles de bruit ou de passer à un filtre plus flexible.

Points clés à retenir

• Le filtre de Kalman ne « casse » pas sous des bruits non gaussiens mais perd son optimalité et sa cohérence.
• La NEES est la métrique clé pour la validation des filtres en simulation ; la NIS pour les diagnostics en temps réel.
• L'UKF compense la non-linéarité mais ne résout pas la non-gaussianité.
• Le filtre à particules est le plus polyvalent mais nécessite un réglage minutieux et des ressources substantielles.
• La combinaison de non-linéarité et de bruits non gaussiens pose les plus grands défis à toutes les approches.

— Editorial Team