NEES/NIS-Diagnose von Kalman-Filtern unter Nichtlinearität

# Diagnose von Kalman-Filtern bei Nichtlinearität und nicht-Gaußschen Störungen: NEES/NIS-Analyse von KF, UKF und Partikelfilter

Der Kalman-Filter bleibt ein grundlegendes Werkzeug für die Zustandsschätzung in Navigation, Robotik und Signalverarbeitung. Seine klassische Form setzt jedoch lineare Dynamik und Gaußsche Störungen voraus – Bedingungen, die in realen Systemen selten erfüllt sind. Dieser Artikel untersucht, wie drei gängige Ansätze – der lineare Kalman-Filter (KF), der Unscented Kalman-Filter (UKF) und der Partikelfilter (PF) – performen, wenn diese Annahmen verletzt werden, und welche Metriken eine objektive Bewertung ihrer Leistung ermöglichen.

Warum Gaußsche Verteilung wichtig ist – und wann sie nicht essenziell ist

Der Kalman-Filter ist nur im linearen-Gaußschen Szenario optimal hinsichtlich der Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers. Dies ergibt sich aus zwei Schlüsselfigenschaften der Normalverteilung: der Abgeschlossenheit unter affinen Transformationen und der Konjugalität der Likelihood bei bayesschen Updates. Wenn die Gaußsche Verteilung verletzt wird, gehen diese Eigenschaften verloren, doch die Rekursion über Mittelwert und Kovarianz bleibt rechentechnisch handhabbar. Der KF funktioniert daher weiter, seine Schätzungen sind aber nicht mehr optimal, und die Kovarianzmatrix spiegelt die tatsächliche Unsicherheit möglicherweise nicht korrekt wider.

In der Praxis äußert sich das als Über- oder Unterkonfidenz in den Schätzungen des Filters, was in Entscheidungssystemen besonders kritisch ist. Bei Ausreißern in den Messungen kann der KF etwa „verstopfen“ und von der wahren Trajektorie abweichen, während adaptive Methoden robust bleiben.

Experimenteller Aufbau: 2×2-Faktorielles Design

Ein Python-Simulator auf Basis von NumPy und SciPy wurde für die systematische Analyse implementiert. Die Architektur gewährleistet experimentelle Reinheit: Die Filter erhalten nur verrauschte Messungen ohne Zugriff auf den wahren Zustand.

Die Simulationsszenarien sind als vollständiges faktorielles Experiment organisiert:

• Lineare Dynamik + Gaußsche Störungen – Basisfall.
• Lineare Dynamik + nicht-Gaußsche Störungen – Robustheitsprüfung gegen Anomalien.
• Nichtlineare Dynamik + Gaußsche Störungen – Test des Umgangs mit Nichtlinearität.
• Nichtlineare Dynamik + nicht-Gaußsche Störungen – Belastungstest für alle Algorithmen.

Das nichtlineare Modell ist speziell so gestaltet, dass Effekte verstärkt werden:

x₁[k+1] = x₁[k] + x₂[k] + 0.5·sin(x₁[k])
x₂[k+1] = 0.8·x₂[k] + 0.2·cos(x₁[k])

Die Messungen weisen eine quadratische Abhängigkeit auf: y₂ = x₂² + η₂, die Information über das Vorzeichen der Geschwindigkeit verliert und lokale Bimodalität erzeugt.

Prozessstörungen werden als Gaußsche Gemische (Hintergrund + Ausreißer) modelliert, Messstörungen als Laplace-Verteilung mit schweren Schwänzen.

Evaluationsmetriken: RMSE, NEES und NIS

Drei Metriken wurden für eine umfassende Bewertung eingesetzt:

• RMSE (Root Mean Square Error) – Maß für die Gesamtgenauigkeit, aber uninformiert bezüglich der Konsistenz der Unsicherheit.
• NEES (Normalized Estimated Error Squared) – Zeigt, wie gut der empirische Fehler zur vorhergesagten Kovarianz passt. Für einen korrekten Filter sollte NEES einer χ²-Verteilung mit n Freiheitsgraden folgen (n = Zustandsdimension).
• NIS (Normalized Innovation Squared) – NEES-Analogon für den Betriebsmodus ohne Ground Truth. Basierend auf Innovationen (Differenzen zwischen Messungen und Vorhersagen).

Die Ergebnisse zeigten:

• Im linearen-Gaußschen Fall weisen alle Filter ähnliche RMSE-Werte auf, mit NEES innerhalb des χ²-Konfidenzintervalls.
• Bei nicht-Gaußschen Störungen bleibt der KF funktionsfähig, doch NEES überschreitet systematisch die Grenzen und deutet auf Unterschätzung der Unsicherheit hin.
• Der UKF bewältigt Nichtlinearität besser, ist aber empfindlich gegenüber nicht-Gaußschen Messstörungen aufgrund der beibehaltenen Gauß-Annahme.
• Der PF zeigt die beste NEES-Konsistenz über alle Szenarien, insbesondere bei multimodalen und schweren Schwänzen.

Praktische Empfehlungen zur Filterauswahl

Basierend auf den Experimenten lassen sich folgende Empfehlungen geben:

• KF einsetzen, wenn das System nahezu linear ist und die Störungen nur leicht von der Gauß-Verteilung abweichen (z. B. schwache Ausreißer). Das gewährleistet minimale Rechenkosten.
• Zu UKF wechseln, wenn die Nichtlinearität signifikant ist, die Störungen aber Gaußsche oder nahezu Gaußsche bleiben. Der UKF approximiert nichtlineare Transformationen effektiv ohne Dimensionserhöhung.
• PF wählen, wenn Störungen klar nicht-Gaußsche sind (Ausreißer, Multimodalität) oder die Observierbarkeit beeinträchtigt ist (z. B. quadratische Messungen). Nachteil: Hohe Rechenkomplexität und Risiko der Partikelverarmung.

Es ist entscheidend, NIS in realen Systemen regelmäßig zu überwachen: Anhaltend überschrittene χ²-Schwellenwerte signalisieren die Notwendigkeit, Störungsmodellen zu überarbeiten oder zu einem flexibleren Filter zu wechseln.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Kalman-Filter „zerbricht“ nicht unter nicht-Gaußschen Störungen, verliert aber Optimalität und Konsistenz.
• NEES ist die Schlüssemetrik zur Filtervalidierung in Simulationen; NIS für Echtzeitdiagnosen.
• UKF gleicht Nichtlinearität aus, löst aber Nicht-Gaußsche Probleme nicht.
• Der Partikelfilter ist am vielseitigsten, erfordert aber sorgfältige Abstimmung und erhebliche Ressourcen.
• Die Kombination aus Nichtlinearität und nicht-Gaußschen Störungen stellt die größten Herausforderungen für alle Ansätze dar.

— Editorial Team