Fourier in MP3 JPEG Wi-Fi: Signalzerlegung

Die Fourier-Transformation: Grundlage von MP3, JPEG, Wi-Fi und MRT-Kompression

Jedes Signal – von einer Audiospur bis hin zu einer Radiowelle – lässt sich in eine Summe von Sinuswellen mit unterschiedlichen Frequenzen, Amplituden und Phasen zerlegen. Das ist die Idee von Jean-Baptiste Fourier aus dem Jahr 1807, die Lagrange für unmöglich hielt. Der Prozess ist umkehrbar und verlustfrei.

Jedes Signal = sin(f₁) × a₁ + sin(f₂) × a₂ + sin(f₃) × a₃ + ...
wobei f die Frequenz und a die Amplitude ist

Diese Zerlegung findet Anwendung in der Audiobearbeitung, Bildverarbeitung und drahtlosen Kommunikation. Die FFT (Fast Fourier Transform) beschleunigt Berechnungen von O(n²) auf O(n log n) und macht die praktische Nutzung erst möglich.

MP3-Kompression mittels Psychoakustik und FFT

MP3 reduziert die Bitrate von 1,4 Mbps (CD) auf 128 Kbps. Der Algorithmus nutzt die FFT für den Übergang in den Frequenzbereich.

# Pseudocode für MP3-Kompression
frequenzen = fft(audio_signal)

for f in frequenzen:
    if f.frequenz > 20000:     # Das Ohr kann über 20 kHz nicht hören
        f.amplitude = 0
    if f.ist_maskiert_von(lauterer_nachbar):  # Psychoakustisches Modell
        f.amplitude = 0          # Leise Töne neben lauten sind unhörbar
    if f.amplitude < schwellwert:  # Zu leise
        f.amplitude = 0

komprimiert = kodiere(verbleibende_frequenzen)

Frequenzen über 20 kHz und maskierte Komponenten werden verworfen. Die Dekodierung beinhaltet eine inverse FFT. Der Unterschied ist für das menschliche Ohr nicht wahrnehmbar.

JPEG und DCT für Bilder

JPEG verwendet DCT (Discrete Cosine Transform) – eine Variante der Fourier-Transformation – auf 8×8-Pixel-Blöcken. Niedrige Frequenzen erhalten Formen, während hohe Frequenzen (Details, Rauschen) quantisiert werden.

8×8-Pixel-Block
    ↓
DCT: Zerlegung in "visuelle Frequenzen"
    ↓
Niedrige Frequenzen = sanfte Übergänge, allgemeine Formen
Hohe Frequenzen = scharfe Kanten, feine Details, Rauschen
    ↓
Hohe Frequenzen verwerfen (das Auge bemerkt es bei einem Sonnenuntergangsfoto nicht)
    ↓
Komprimiertes Bild, 10–20 Mal kleiner als das Original

Artefakte wie Blockbildung entstehen durch übermäßiges Abschneiden hoher Frequenzen. Die inverse Transformation stellt das Bild wieder her.

OFDM in Wi-Fi und Mobilkommunikation

OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing) moduliert Daten auf Hunderte von Subträgerfrequenzen innerhalb eines 80 MHz breiten Kanals. Subträger sind aufgrund der Eigenschaften von Sinuswellen orthogonal.

Ein Wi-Fi-Kanal, 80 MHz breit:

[Subtr.1][Subtr.2][Subtr.3]...[Subtr.234]
  ↓       ↓       ↓            ↓
 Daten    Daten    Daten    ...  Daten

Alle Frequenzen werden GLEICHZEITIG übertragen.
Der Empfänger trennt sie mittels FFT wieder.

Wi-Fi 6 verwendet 4096-QAM auf 980 Subträgern. Der Empfänger wendet IFFT zur Demodulation an. Ähnlich in 4G/5G, DSL, DVB-T.

• Vorteile von OFDM: Robustheit gegen Mehrwegeausbreitung, hohe spektrale Effizienz.
• Berechnungen: FFT/IFFT in Echtzeit auf Chips.
• Umfang: Milliarden von Geräten führen Billionen von FFTs pro Sekunde durch.

Erkennung in Shazam und MRT

Shazam: FFT von Audio → Spektrogramm → Frequenzspitzen als Fingerabdrücke → Datenbanksuche.

1. 3 Sekunden Audio aufnehmen
2. FFT → Spektrogramm
3. Spitzen finden → Fingerabdrücke
4. Mit Datenbank vergleichen

Spitzen sind robust gegenüber Rauschen. MRT: Magnet bringt Protonen zum Schwingen, zeichnet k-Raum (Frequenzbereich) auf. Inverse FFT erzeugt ein Bild.

Protonen schwingen → Radiowellen → k-Raum
     ↓
Inverse FFT
     ↓
Bild

Implementierung von FFT in Python

Rekursive FFT, um den Cooley-Tukey-Algorithmus zu verstehen.

import numpy as np

def fft(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    even = fft(x[0::2])
    odd = fft(x[1::2])
    T = [np.exp(-2j * np.pi * k / n) * odd[k] for k in range(n // 2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(n // 2)] + \
           [even[k] - T[k] for k in range(n // 2)]

Die Beschleunigung ermöglicht Echtzeit-Signalverarbeitung.

Wichtige Erkenntnisse

• Fourier-Zerlegung ist universell für Wellenprozesse: Schall, Licht, Radiowellen.
• FFT reduziert die Komplexität von O(n²) auf O(n log n) und ermöglicht Billiarden von Operationen pro Sekunde.
• Anwendungen: Kompression (MP3/JPEG), Kommunikation (OFDM), Medizin (MRT), Erkennung (Shazam).
• Orthogonalität von Sinuswellen gewährleistet Signaltrennung ohne Interferenz.
• Die Physik der Welt ist eine Summe grundlegender Schwingungen; Fourier entschlüsselt diese Sprache.

— Editorial Team