MP3、JPEG、Wi-Fi 中的傅里叶：信号分解

傅里叶变换：MP3、JPEG、Wi-Fi与MRI压缩的基石

任何信号——从音频轨道到无线电波——都可以分解为不同频率、振幅和相位的正弦波之和。这是让-巴蒂斯特·傅里叶在1807年提出的思想，拉格朗日曾认为这不可能实现。该过程可逆且无损。

任何信号 = sin(f₁) × a₁ + sin(f₂) × a₂ + sin(f₃) × a₃ + ...
其中 f 为频率，a 为振幅

这种分解应用于音频处理、图像处理和无线通信中。FFT（快速傅里叶变换）将计算速度从 O(n²) 提升至 O(n log n)，使其得以实际应用。

MP3压缩：心理声学与FFT的结合

MP3将比特率从1.4 Mbps（CD）降低至128 Kbps。该算法使用FFT转换到频域。

# MP3压缩伪代码
frequencies = fft(audio_signal)

for f in frequencies:
    if f.frequency > 20000:     # 人耳无法听到20 kHz以上的声音
        f.amplitude = 0
    if f.is_masked_by(louder_neighbor):  # 心理声学模型
        f.amplitude = 0          # 响亮声音附近的微弱声音听不见
    if f.amplitude < threshold:  # 音量过低
        f.amplitude = 0

compressed = encode(remaining_frequencies)

高于20 kHz的频率和被掩蔽的成分被丢弃。解码涉及逆FFT。人耳察觉不到差异。

JPEG与图像的DCT处理

JPEG在8×8像素块上使用DCT（离散余弦变换）——傅里叶变换的一种变体。低频保留形状，而高频（细节、噪声）被量化。

8×8像素块
    ↓
DCT：分解为“视觉频率”
    ↓
低频 = 平滑渐变、大体形状
高频 = 锐利边缘、精细细节、噪声
    ↓
丢弃高频（在日落照片中人眼不会注意到）
    ↓
压缩图像，比原始图像小10–20倍

块状伪影源于过度削减高频。逆变换可恢复图像。

Wi-Fi与移动通信中的OFDM技术

OFDM（正交频分复用）将数据调制到80 MHz宽信道内的数百个子载波频率上。由于正弦波特性，子载波相互正交。

一个80 MHz宽的Wi-Fi信道：

[子载波1][子载波2][子载波3]...[子载波234]
  ↓       ↓       ↓            ↓
 数据    数据    数据    ...  数据

所有频率同时传输。
接收端通过FFT将其分离。

Wi-Fi 6在980个子载波上使用4096-QAM。接收端应用IFFT进行解调。类似技术也用于4G/5G、DSL、DVB-T。

• OFDM优势： 抗多径传播能力强，频谱效率高。
• 计算： 芯片上实时进行FFT/IFFT。
• 规模： 数十亿设备每秒执行数万亿次FFT。

Shazam与MRI中的识别应用

Shazam：音频FFT → 频谱图 → 频率峰值作为指纹 → 数据库搜索。

1. 录制3秒音频
2. FFT → 频谱图
3. 寻找峰值 → 指纹
4. 与数据库比对

峰值对噪声具有鲁棒性。MRI：磁体共振质子，记录k空间（频域）。逆FFT生成图像。

质子共振 → 无线电波 → k空间
     ↓
逆FFT
     ↓
图像

用Python实现FFT

递归FFT以理解Cooley-Tukey算法。

import numpy as np

def fft(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    even = fft(x[0::2])
    odd = fft(x[1::2])
    T = [np.exp(-2j * np.pi * k / n) * odd[k] for k in range(n // 2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(n // 2)] + \
           [even[k] - T[k] for k in range(n // 2)]

速度提升使得实时信号处理成为可能。

核心要点

• 傅里叶分解适用于所有波动过程：声音、光、无线电波。
• FFT将复杂度从 O(n²) 降至 O(n log n)，实现每秒数千万亿次运算。
• 应用领域：压缩（MP3/JPEG）、通信（OFDM）、医疗（MRI）、识别（Shazam）。
• 正弦波的正交性确保信号分离无干扰。
• 世界的物理本质是基本振荡之和；傅里叶解码了这种语言。

— Editorial Team