Fourier dans MP3 JPEG Wi-Fi : décomposition du signal

La Transformée de Fourier : Fondement de la compression MP3, JPEG, Wi-Fi et IRM

Tout signal — d'une piste audio à une onde radio — peut être décomposé en une somme d'ondes sinusoïdales de fréquences, amplitudes et phases différentes. C'est l'idée de Jean-Baptiste Fourier en 1807, que Lagrange jugeait impossible. Le processus est réversible et sans perte.

Tout signal = sin(f₁) × a₁ + sin(f₂) × a₂ + sin(f₃) × a₃ + ...
où f est la fréquence, a est l'amplitude

Cette décomposition est appliquée dans le traitement audio, la manipulation d'images et la communication sans fil. La FFT (Transformée de Fourier Rapide) accélère les calculs de O(n²) à O(n log n), rendant l'utilisation pratique possible.

Compression MP3 via psychoacoustique et FFT

Le MP3 réduit le débit binaire de 1,4 Mbps (CD) à 128 Kbps. L'algorithme utilise la FFT pour passer au domaine fréquentiel.

# Pseudocode pour la compression MP3
frequences = fft(signal_audio)

pour f dans frequences:
    si f.frequence > 20000:     # l'oreille ne perçoit pas au-delà de 20 kHz
        f.amplitude = 0
    si f.est_masquee_par(voisin_plus_fort):  # modèle psychoacoustique
        f.amplitude = 0          # les sons faibles près de sons forts sont inaudibles
    si f.amplitude < seuil:  # trop faible
        f.amplitude = 0

compresse = encoder(frequences_restantes)

Les fréquences au-dessus de 20 kHz et les composantes masquées sont éliminées. Le décodage implique une FFT inverse. La différence est imperceptible pour l'oreille humaine.

JPEG et DCT pour les images

Le JPEG utilise la DCT (Transformée en Cosinus Discrète) — une variante de Fourier — sur des blocs de 8×8 pixels. Les basses fréquences préservent les formes, tandis que les hautes fréquences (détails, bruit) sont quantifiées.

Bloc de 8×8 pixels
    ↓
DCT : décomposition en "fréquences visuelles"
    ↓
Basses fréquences = dégradés doux, formes générales
Hautes fréquences = contours nets, détails fins, bruit
    ↓
Éliminer les hautes fréquences (l'œil ne les remarque pas dans une photo de coucher de soleil)
    ↓
Image compressée, 10–20 fois plus petite que l'originale

Les artefacts comme le blocage résultent d'une coupure excessive des hautes fréquences. La transformation inverse restaure l'image.

OFDM dans le Wi-Fi et la communication mobile

L'OFDM (Multiplexage par Répartition Orthogonale de la Fréquence) module les données sur des centaines de sous-porteuses fréquentielles dans un canal large de 80 MHz. Les sous-porteuses sont orthogonales grâce aux propriétés des ondes sinusoïdales.

Un canal Wi-Fi large de 80 MHz :

[sous-port.1][sous-port.2][sous-port.3]...[sous-port.234]
  ↓       ↓       ↓            ↓
 données données données    ...  données

Toutes les fréquences sont transmises SIMULTANÉMENT.
Le récepteur les sépare via FFT.

Le Wi-Fi 6 utilise 4096-QAM sur 980 sous-porteuses. Le récepteur applique IFFT pour la démodulation. De même dans la 4G/5G, DSL, DVB-T.

• Avantages de l'OFDM : résilience à la propagation multitrajets, haute efficacité spectrale.
• Calculs : FFT/IFFT en temps réel sur puces.
• Échelle : des milliards d'appareils effectuent des billions de FFT par seconde.

Reconnaissance dans Shazam et IRM

Shazam : FFT de l'audio → spectrogramme → pics de fréquence comme empreintes → recherche en base de données.

1. Enregistrer 3 secondes d'audio
2. FFT → spectrogramme
3. Trouver les pics → empreintes
4. Comparer avec la base de données

Les pics sont robustes au bruit. IRM : l'aimant fait résonner les protons, enregistre l'espace k (domaine fréquentiel). La FFT inverse produit une image.

Les protons résonnent → ondes radio → espace k
     ↓
FFT inverse
     ↓
Image

Implémentation de la FFT en Python

FFT récursive pour comprendre l'algorithme de Cooley-Tukey.

import numpy as np

def fft(x):
    n = len(x)
    if n == 1:
        return x
    even = fft(x[0::2])
    odd = fft(x[1::2])
    T = [np.exp(-2j * np.pi * k / n) * odd[k] for k in range(n // 2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(n // 2)] + \
           [even[k] - T[k] for k in range(n // 2)]

L'accélération permet le traitement de signal en temps réel.

Points clés à retenir

• La décomposition de Fourier est universelle pour les processus ondulatoires : son, lumière, ondes radio.
• La FFT réduit la complexité de O(n²) à O(n log n), permettant des quadrillions d'opérations par seconde.
• Applications : compression (MP3/JPEG), communication (OFDM), médecine (IRM), reconnaissance (Shazam).
• L'orthogonalité des ondes sinusoïdales assure la séparation des signaux sans interférence.
• La physique du monde est une somme d'oscillations de base ; Fourier décode ce langage.

— Editorial Team