Elementární funkce: analýza a komplexní vlastnosti

Elementární funkce v komplexní analýze: přísná axiomatická konstrukce

Exponenciální funkce je definována pomocí mocninné řady s nekonečným poloměrem konvergence:

\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}, \quad z = t + i\tau \in \mathbb{C}

Funkce je celá, zobrazuje komplexní argument na komplexní hodnotu. Přímá kontrola potvrzuje splnění Cauchyho úlohy:

\frac{dw}{dz} = w, \quad w(0) = 1, \quad w(z) = \exp(z)

Skupinová vlastnost řešení ODE dává multiplikativitu:

\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)

Exponenciála se nikde v \mathbb{C} nerovná nule, jinak by byla identicky nulová. Na reálné ose \exp(t) > 0, monotónně roste.

Číslo e := \exp(1) > 1. Z multiplikativity plyne:

\exp(m/n) = \sqrt[n]{e^m}, \quad m \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N}

Odtud limity: \lim_{t \to \infty} \exp(t) = \infty, \lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0. Zdůvodňuje se zápis e^z := \exp(z).

Logaritmus a zobecnění

Přirozený logaritmus je inverzní k exponenciále:

\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}, \quad \ln \exp t = t, \quad \exp \ln \xi = \xi, \quad \xi > 0

Obecný logaritmus a mocnina:

\log_a \xi := \frac{\ln \xi}{\ln a}, \quad a^t := \exp(t \ln a), \quad a > 0, \ a \ne 1

Tyto definice zachovávají algebraické vlastnosti v komplexní rovině při volbě hlavní větve.

Komplexní goniometrické funkce

Kosinus a sinus jsou definovány pomocí exponenciály:

\cos z := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Plynou Pythagorova identita a derivace:

\cos^2 z + \sin^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z, \quad \frac{d}{dz} \sin z = \cos z

Eulerův vzorec:

e^{iz} = \cos z + i \sin z

Geometrická interpretace na jednotkové kružnici

Parametrická křivka na \mathbb{R}^2:

x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t

Splňuje:

x^2(t) + y^2(t) = 1, \quad \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1, \quad \begin{vmatrix} x(t) & y(t) \\ \dot{x}(t) & \dot{y}(t) \end{vmatrix} = 1

Věta. Funkce (x(t), y(t)) definují parametrickou rovnici jednotkové kružnice se středem v počátku. Parametr t je přirozený: rychlost \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 1. Zvětšování t odpovídá oběhu proti směru hodinových ručiček.

Periodicita: \cos(t + 2\pi) = \cos t, \sin(t + 2\pi) = \sin t, kde \pi je polovina délky kružnice.

Přirozený parametr a délka oblouku

Pro hladkou křivku \gamma(t) = (x(t), y(t)), x, y \in C^1[t_1, t_2], \dot{\gamma} \ne 0:

\ell = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} \, dt

Parametr je přirozený, pokud je výraz pod odmocninou roven 1. Pak t je úměrný délce oblouku, jako v případě jednotkové kružnice.

Klíčové vlastnosti pro analýzu:

• Exponenciála je jediné celé řešení Cauchyho úlohy dw/dz = w, w(0)=1.
• Multiplikativita zajišťuje, že nulové hodnoty jsou nemožné.
• Goniometrie se redukuje na exponenciálu, zachovává diferenciální vlastnosti.
• Parametrizace kružnice ukazuje spojitost s eukleidovskou geometrií.
• Přirozený parametr sjednocuje pojem délky v diferenciální geometrii.

Co je důležité

• Exponenciála je dána Taylorovou řadou s nekonečným poloměrem konvergence, celá funkce.
• Multiplikativita \exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1)\exp(z_2) plyne z ODE.
• Goniometrické funkce jsou definovány pomocí exponenciály, splňují klasické identity.
• Parametrická křivka (\cos t, \sin t) je jednotková kružnice s přirozeným parametrem.
• Délka oblouku se počítá pomocí integrálu rychlosti, přirozený parametr zjednodušuje výpočty.

— Editorial Team