Funkcje elementarne: analiza i zespolone właściwości

Funkcje elementarne w analizie zespolonej: ścisła konstrukcja aksjomatyczna

Funkcja wykładnicza jest zdefiniowana poprzez szereg potęgowy o nieskończonym promieniu zbieżności:

\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}, \quad z = t + i\tau \in \mathbb{C}

Funkcja jest całkowita, przekształca argument zespolony w wartość zespoloną. Bezpośrednie sprawdzenie potwierdza spełnienie problemu Cauchy’ego:

\frac{dw}{dz} = w, \quad w(0) = 1, \quad w(z) = \exp(z)

Własność grupowa rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego daje multiplikatywność:

\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)

Funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości zero w żadnym punkcie \mathbb{C}, w przeciwnym razie byłaby tożsamościowo równa zero. Na osi rzeczywistej \exp(t) > 0, monotonicznie rośnie.

Liczba e := \exp(1) > 1. Z multiplikatywności wynika:

\exp(m/n) = \sqrt[n]{e^m}, \quad m \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N}

Stąd granice: \lim_{t \to \infty} \exp(t) = \infty, \lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0. Uzasadnia to zapis e^z := \exp(z).

Logarytm i uogólnienia

Logarytm naturalny — funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej:

\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}, \quad \ln \exp t = t, \quad \exp \ln \xi = \xi, \quad \xi > 0

Logarytm ogólny i potęga:

\log_a \xi := \frac{\ln \xi}{\ln a}, \quad a^t := \exp(t \ln a), \quad a > 0, \ a \ne 1

Te definicje zachowują własności algebraiczne na płaszczyźnie zespolonej przy wyborze gałęzi głównej.

Funkcje trygonometryczne zespolone

Cosinus i sinus są zdefiniowane poprzez funkcję wykładniczą:

\cos z := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Wynikają tożsamość pitagorejska i pochodne:

\cos^2 z + \sin^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z, \quad \frac{d}{dz} \sin z = \cos z

Wzór Eulera:

e^{iz} = \cos z + i \sin z

Interpretacja geometryczna na okręgu jednostkowym

Krzywa parametryczna na \mathbb{R}^2:

x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t

Spełnia:

x^2(t) + y^2(t) = 1, \quad \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1, \quad \begin{vmatrix} x(t) & y(t) \\ \dot{x}(t) & \dot{y}(t) \end{vmatrix} = 1

Twierdzenie. Funkcje (x(t), y(t)) określają parametryczne równanie okręgu jednostkowego ze środkiem w początku układu współrzędnych. Parametr t jest naturalny: prędkość \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 1. Zwiększanie t odpowiada obiegowi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Okresowość: \cos(t + 2\pi) = \cos t, \sin(t + 2\pi) = \sin t, gdzie \pi to połowa długości okręgu.

Parametr naturalny i długość łuku

Dla gładkiej krzywej \gamma(t) = (x(t), y(t)), x, y \in C^1[t_1, t_2], \dot{\gamma} \ne 0:

\ell = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} \, dt

Parametr jest naturalny, jeśli wyrażenie podpierwiastkowe równe jest 1. Wtedy t jest proporcjonalny do długości łuku, jak w przypadku okręgu jednostkowego.

Kluczowe własności dla analizy:

• Funkcja wykładnicza to jedyne całkowite rozwiązanie problemu Cauchy’ego dw/dz = w, w(0)=1.
• Multiplikatywność zapewnia, że wartości zerowe są niemożliwe.
• Trygonometria sprowadza się do funkcji wykładniczej, zachowując własności różniczkowe.
• Parametryzacja okręgu pokazuje związek z geometrią euklidesową.
• Parametr naturalny ujednolica pojęcie długości w geometrii różniczkowej.

Co jest ważne

• Funkcja wykładnicza jest określona szeregiem Taylora o nieskończonym promieniu zbieżności, jest funkcją całkowitą.
• Multiplikatywność \exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1)\exp(z_2) wynika z równania różniczkowego zwyczajnego.
• Funkcje trygonometryczne są definiowane poprzez funkcję wykładniczą, spełniają klasyczne tożsamości.
• Krzywa parametryczna (\cos t, \sin t) to okrąg jednostkowy z parametrem naturalnym.
• Długość łuku oblicza się poprzez całkę z prędkości, parametr naturalny upraszcza obliczenia.

— Editorial Team