初等函数：分析与复数性质

复分析中的初等函数：严格的公理化构造

指数函数通过具有无穷收敛半径的幂级数定义：

\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}, \quad z = t + i\tau \in \mathbb{C}

它是一个整函数，将复参数映射为复值。直接验证可确认其满足柯西问题：

\frac{dw}{dz} = w, \quad w(0) = 1, \quad w(z) = \exp(z)

常微分方程解的群性质导出乘法性：

\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)

指数函数在 \mathbb{C} 中任何点都不为零，否则它将恒为零。在实轴上，\exp(t) > 0 且单调递增。

定义 e := \exp(1) > 1。由乘法性可得：

\exp(m/n) = \sqrt[n]{e^m}, \quad m \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N}

因此极限：\lim_{t \to \infty} \exp(t) = \infty, \lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0。这证明了记号 e^z := \exp(z) 的合理性。

对数与推广

自然对数是指数函数的逆：

\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}, \quad \ln \exp t = t, \quad \exp \ln \xi = \xi, \quad \xi > 0

一般对数和幂：

\log_a \xi := \frac{\ln \xi}{\ln a}, \quad a^t := \exp(t \ln a), \quad a > 0, \ a \ne 1

这些定义在使用主分支时保留了复平面上的代数性质。

复三角函数

余弦和正弦通过指数函数定义：

\cos z := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

这导出勾股定理恒等式和导数：

\cos^2 z + \sin^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z, \quad \frac{d}{dz} \sin z = \cos z

欧拉公式：

e^{iz} = \cos z + i \sin z

单位圆上的几何解释

\mathbb{R}^2 中的参数曲线：

x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t

满足：

x^2(t) + y^2(t) = 1, \quad \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1, \quad \begin{vmatrix} x(t) & y(t) \\ \dot{x}(t) & \dot{y}(t) \end{vmatrix} = 1

定理。 函数 (x(t), y(t)) 给出了以原点为中心的单位圆的参数方程。参数 t 是自然的：速度 \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 1。t 增加对应于逆时针遍历。

周期性：\cos(t + 2\pi) = \cos t, \sin(t + 2\pi) = \sin t，其中 \pi 是周长的一半。

自然参数与弧长

对于光滑曲线 \gamma(t) = (x(t), y(t)), x, y \in C^1[t_1, t_2], \dot{\gamma} \ne 0：

\ell = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} \, dt

如果根式表达式等于 1，则参数是自然的。那么 t 与弧长成比例，如单位圆的情况。

分析的关键性质：

• 指数函数是柯西问题 dw/dz = w, w(0)=1 的唯一整解。
• 乘法性确保零值不可能出现。
• 三角学简化为指数函数，保留了微分性质。
• 圆的参数化展示了与欧几里得几何的联系。
• 自然参数统一了微分几何中的长度概念。

关键要点

• 指数函数由具有无穷收敛半径的泰勒级数定义，是一个整函数。
• 乘法性 \exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1)\exp(z_2) 源自常微分方程。
• 三角函数通过指数函数定义并满足经典恒等式。
• 参数曲线 (\cos t, \sin t) 是具有自然参数的单位圆。
• 弧长通过速度的积分计算；自然参数简化了计算。

— Editorial Team