Funciones elementales: análisis y propiedades complejas

Funciones Elementales en Análisis Complejo: Una Construcción Axiomática Rigurosa

La función exponencial se define mediante una serie de potencias con radio de convergencia infinito:

\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}, \quad z = t + i\tau \in \mathbb{C}

Es una función entera, que mapea un argumento complejo a un valor complejo. La verificación directa confirma que satisface el problema de Cauchy:

\frac{dw}{dz} = w, \quad w(0) = 1, \quad w(z) = \exp(z)

La propiedad de grupo de las soluciones de EDO produce multiplicatividad:

\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)

La exponencial nunca se anula en ningún punto de \mathbb{C}, de lo contrario sería idénticamente cero. En el eje real, \exp(t) > 0 y es monótonamente creciente.

Definimos e := \exp(1) > 1. De la multiplicatividad, se sigue:

\exp(m/n) = \sqrt[n]{e^m}, \quad m \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N}

De ahí los límites: \lim_{t \to \infty} \exp(t) = \infty, \lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0. Esto justifica la notación e^z := \exp(z).

Logaritmo y Generalizaciones

El logaritmo natural es la inversa de la exponencial:

\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}, \quad \ln \exp t = t, \quad \exp \ln \xi = \xi, \quad \xi > 0

Logaritmo general y potencia:

\log_a \xi := \frac{\ln \xi}{\ln a}, \quad a^t := \exp(t \ln a), \quad a > 0, \ a \ne 1

Estas definiciones preservan las propiedades algebraicas en el plano complejo al usar la rama principal.

Funciones Trigonométricas Complejas

El coseno y el seno se definen mediante la exponencial:

\cos z := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Esto produce la identidad pitagórica y las derivadas:

\cos^2 z + \sin^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z, \quad \frac{d}{dz} \sin z = \cos z

Fórmula de Euler:

e^{iz} = \cos z + i \sin z

Interpretación Geométrica en el Círculo Unitario

Una curva paramétrica en \mathbb{R}^2:

x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t

Satisface:

x^2(t) + y^2(t) = 1, \quad \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1, \quad \begin{vmatrix} x(t) & y(t) \\ \dot{x}(t) & \dot{y}(t) \end{vmatrix} = 1

Teorema. Las funciones (x(t), y(t)) dan una ecuación paramétrica del círculo unitario centrado en el origen. El parámetro t es natural: velocidad \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 1. El aumento de t corresponde a un recorrido en sentido antihorario.

Periodicidad: \cos(t + 2\pi) = \cos t, \sin(t + 2\pi) = \sin t, donde \pi es la mitad de la circunferencia.

Parámetro Natural y Longitud de Arco

Para una curva suave \gamma(t) = (x(t), y(t)), x, y \in C^1[t_1, t_2], \dot{\gamma} \ne 0:

\ell = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} \, dt

El parámetro es natural si la expresión radical es igual a 1. Entonces t es proporcional a la longitud de arco, como en el caso del círculo unitario.

Propiedades clave para el análisis:

• La exponencial es la única solución entera al problema de Cauchy dw/dz = w, w(0)=1.
• La multiplicatividad asegura que los valores cero son imposibles.
• La trigonometría se reduce a la exponencial, preservando las propiedades diferenciales.
• La parametrización del círculo demuestra el vínculo con la geometría euclidiana.
• El parámetro natural unifica el concepto de longitud en geometría diferencial.

Conclusiones Clave

• La exponencial se define por una serie de Taylor con radio de convergencia infinito, una función entera.
• La multiplicatividad \exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1)\exp(z_2) se sigue de la EDO.
• Las funciones trigonométricas se definen mediante la exponencial y satisfacen identidades clásicas.
• La curva paramétrica (\cos t, \sin t) es el círculo unitario con un parámetro natural.
• La longitud de arco se calcula mediante la integral de la velocidad; el parámetro natural simplifica los cálculos.

— Editorial Team