Fonctions élémentaires : analyse et propriétés complexes

Fonctions élémentaires en analyse complexe : une construction axiomatique rigoureuse

La fonction exponentielle est définie par une série entière de rayon de convergence infini :

\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}, \quad z = t + i\tau \in \mathbb{C}

C'est une fonction entière, qui associe un argument complexe à une valeur complexe. Une vérification directe confirme qu'elle satisfait le problème de Cauchy :

\frac{dw}{dz} = w, \quad w(0) = 1, \quad w(z) = \exp(z)

La propriété de groupe des solutions d'équations différentielles ordinaires donne la multiplicativité :

\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \exp(z_2)

L'exponentielle ne s'annule jamais en aucun point de \mathbb{C}, sinon elle serait identiquement nulle. Sur l'axe réel, \exp(t) > 0 et est strictement croissante.

Définissons e := \exp(1) > 1. De la multiplicativité, il découle :

\exp(m/n) = \sqrt[n]{e^m}, \quad m \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N}

D'où les limites : \lim_{t \to \infty} \exp(t) = \infty, \lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0. Cela justifie la notation e^z := \exp(z).

Logarithme et généralisations

Le logarithme naturel est l'inverse de l'exponentielle :

\ln: (0, \infty) \to \mathbb{R}, \quad \ln \exp t = t, \quad \exp \ln \xi = \xi, \quad \xi > 0

Logarithme général et puissance :

\log_a \xi := \frac{\ln \xi}{\ln a}, \quad a^t := \exp(t \ln a), \quad a > 0, \ a \ne 1

Ces définitions préservent les propriétés algébriques dans le plan complexe en utilisant la détermination principale.

Fonctions trigonométriques complexes

Le cosinus et le sinus sont définis via l'exponentielle :

\cos z := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}

Cela donne l'identité de Pythagore et les dérivées :

\cos^2 z + \sin^2 z = 1, \quad \frac{d}{dz} \cos z = -\sin z, \quad \frac{d}{dz} \sin z = \cos z

Formule d'Euler :

e^{iz} = \cos z + i \sin z

Interprétation géométrique sur le cercle unité

Une courbe paramétrique dans \mathbb{R}^2 :

x(t) = \cos t, \quad y(t) = \sin t

Satisfait :

x^2(t) + y^2(t) = 1, \quad \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1, \quad \begin{vmatrix} x(t) & y(t) \\ \dot{x}(t) & \dot{y}(t) \end{vmatrix} = 1

Théorème. Les fonctions (x(t), y(t)) donnent une équation paramétrique du cercle unité centré à l'origine. Le paramètre t est naturel : la vitesse \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 1. L'augmentation de t correspond à un parcours dans le sens antihoraire.

Périodicité : \cos(t + 2\pi) = \cos t, \sin(t + 2\pi) = \sin t, où \pi est la moitié de la circonférence.

Paramètre naturel et longueur d'arc

Pour une courbe lisse \gamma(t) = (x(t), y(t)), x, y \in C^1[t_1, t_2], \dot{\gamma} \ne 0 :

\ell = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} \, dt

Le paramètre est naturel si l'expression radicale vaut 1. Alors t est proportionnel à la longueur d'arc, comme dans le cas du cercle unité.

Propriétés clés pour l'analyse :

• L'exponentielle est la seule solution entière au problème de Cauchy dw/dz = w, w(0)=1.
• La multiplicativité garantit l'impossibilité de valeurs nulles.
• La trigonométrie se réduit à l'exponentielle, préservant les propriétés différentielles.
• La paramétrisation du cercle démontre le lien avec la géométrie euclidienne.
• Le paramètre naturel unifie le concept de longueur en géométrie différentielle.

Points clés à retenir

• L'exponentielle est définie par une série de Taylor de rayon de convergence infini, une fonction entière.
• La multiplicativité \exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1)\exp(z_2) découle de l'équation différentielle ordinaire.
• Les fonctions trigonométriques sont définies via l'exponentielle et satisfont les identités classiques.
• La courbe paramétrique (\cos t, \sin t) est le cercle unité avec un paramètre naturel.
• La longueur d'arc est calculée via l'intégrale de la vitesse ; le paramètre naturel simplifie les calculs.

— Editorial Team