Kalman-Filter als Beobachter: Formeln und Anwendung

Der Beobachter als stochastischer Kalman-Filter: Mathematische Verbindung

Der Kalman-Filter implementiert eine optimale Beobachtung dynamischer Systeme durch stochastische Zustandskorrektur. Im Kontext der Modellierung eines Elektromotors für eine Tauchpumpe dienen Phasenspannungen als Modelleingang, während Ströme als Messwerte fungieren, um das virtuelle Modell mit dem realen Objekt zu synchronisieren. Dies ermöglicht die Extraktion von Parametern, die nicht direkt zugänglich sind, wie z.B. die Rotordrehzahl.

Mathematisches Modell für die Zustandsprädiktion:

\begin{align}
  & \hat{x}_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k \\
  & P_k = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k
\end{align} \tag{1}

Hierbei ist $F_k$ die zeitdiskrete Systemdynamikmatrix (Elektromotor), $\hat{x}_k$ der geschätzte Zustandsvektor mit Kovarianz $P_k = Cov(\hat{x}_k)$, $Q_k$ die Kovarianz des Prozessrauschens (Störungen durch ungleichmäßige Ölanteile), $\vec{u}_k$ sind deterministische Eingänge (Phasenspannungen) und $B_k$ ist die Eingangsmatrix.

Korrektur basierend auf Messungen

Prädizierte Quasi-Sensorströme: $\vec{\mu}_{expected} = H_k \hat{x}_k$, mit Kovarianz $\Sigma_{expected} = H_k P_k H_k^T$. Tatsächliche Strommessungen: $\vec{z}_k$ mit Kovarianz $R_k = Cov(\vec{z}_k)$.

Die Kombination von Prädiktion und Messung über das Gauß-Produkt ergibt korrigierte Schätzwerte:

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = \vec{\mu}_0 + K(\vec{\mu}_1 - \vec{\mu}_0) \\
  & \Sigma' = \Sigma_0 - K \Sigma_0 \\
  & K = \Sigma_0 (\Sigma_0 + \Sigma_1)^{-1}
\end{align} \tag{4}

Wobei $(\vec{\mu}_0, \Sigma_0) = (H_k \hat{x}_k, H_k P_k H_k^T)$, $(\vec{\mu}_1, \Sigma_1) = (\vec{z}_k, R_k)$. Verbindung zum Zustandsraum:

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = H_k \hat{x}'_k \\
  & \Sigma' = H_k P'_k H_k^T
\end{align} \tag{5}

Substitution führt zu den Standard-Kalman-Korrekturformeln:

\begin{align}
  & \hat{x}'_k = \hat{x}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k) \\
  & P'_k = P_k - K'_k H_k P_k \\
  & K'_k = P_k H_k^T (H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}
\end{align} \tag{8}

Kanonische Beobachterform

Vollständiges Iterationsschema: Prädiktion via (1), Korrektur via (8), dann $\hat{x}_{k-1} \leftarrow \hat{x}'_k$, $P_{k-1} \leftarrow P'_k$. Einsetzen der Prädiktion in die Korrektur ergibt den kanonischen Beobachter:

\hat{x}'_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)

• $F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k$: Objektmodell mit Eingängen (Spannungen).
• $\vec{z}_k$: Messungen (Ströme).
• $K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)$: Korrektur, die den Fehler $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k \to 0$ minimiert.

Als Ergebnis synchronisieren sich die virtuellen Ströme des Modells mit den realen, und die Koordinaten $\hat{x}'_k$ spiegeln die wahren Zustände wider, einschließlich der Rotordrehzahl.

Wichtige Vorteile für Middle/Senior-Entwickler:

• Stochastische Interpretation: Kovarianzen $P_k$, $Q_k$, $R_k$ berücksichtigen Modell- und Messunsicherheiten.
• Rekursivität: Iterativer Algorithmus eignet sich für Echtzeitsysteme (DSP, Embedded).
• Optimalität: Minimiert den mittleren quadratischen Schätzfehler unter Gaußschem Rauschen.
• Skalierbarkeit: Leicht anpassbar für nichtlineare Fälle (EKF/UKF).

Wichtige Erkenntnisse

• Der Kalman-Filter entspricht einem optimalen stochastischen Beobachter für lineare Systeme mit additivem Rauschen.
• Der Korrekturterm $K'_k$ gewährleistet die Modellsynchronisation mit der Realität durch Minimierung der Innovationen $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k$.
• Anwendung bei Elektromotoren: Virtueller Tachometer basierend auf Strömen/Spannungen ohne physischen Drehzahlsensor.
• Das Beobachtungsproblem in stochastischen Umgebungen entspricht einem Filterproblem; Kalman ist ein Spezialfall der Bayes'schen Rekursion.

— Editorial Team