卡尔曼滤波器作为观测器：公式和应用

卡尔曼滤波器作为随机观测器：数学关联解析

卡尔曼滤波器通过随机状态校正实现动态系统的最优观测。在模拟潜水泵电机的背景下，相电压作为模型输入，而电流则作为测量值，用于同步虚拟模型与实际对象。这使得提取无法直接访问的参数（如转子转速）成为可能。

状态预测的数学模型：

\begin{align}
  & \hat{x}_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k \\
  & P_k = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k
\end{align} \tag{1}

其中，$F_k$ 是离散时间系统动态矩阵（电机），$\hat{x}_k$ 是估计状态向量，协方差为 $P_k = Cov(\hat{x}_k)$，$Q_k$ 是过程噪声协方差（来自不均匀油相的扰动），$\vec{u}_k$ 是确定性输入（相电压），$B_k$ 是输入矩阵。

基于测量的校正

预测的准传感器电流：$\vec{\mu}_{expected} = H_k \hat{x}_k$，协方差为 $\Sigma_{expected} = H_k P_k H_k^T$。实际电流测量值：$\vec{z}_k$，协方差为 $R_k = Cov(\vec{z}_k)$。

通过高斯乘积结合预测和测量，得到校正估计：

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = \vec{\mu}_0 + K(\vec{\mu}_1 - \vec{\mu}_0) \\
  & \Sigma' = \Sigma_0 - K \Sigma_0 \\
  & K = \Sigma_0 (\Sigma_0 + \Sigma_1)^{-1}
\end{align} \tag{4}

其中 $(\vec{\mu}_0, \Sigma_0) = (H_k \hat{x}_k, H_k P_k H_k^T)$，$(\vec{\mu}_1, \Sigma_1) = (\vec{z}_k, R_k)$。与状态空间的关联：

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = H_k \hat{x}'_k \\
  & \Sigma' = H_k P'_k H_k^T
\end{align} \tag{5}

代入得到标准卡尔曼校正公式：

\begin{align}
  & \hat{x}'_k = \hat{x}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k) \\
  & P'_k = P_k - K'_k H_k P_k \\
  & K'_k = P_k H_k^T (H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}
\end{align} \tag{8}

标准观测器形式

完整迭代方案：通过 (1) 预测，通过 (8) 校正，然后 $\hat{x}_{k-1} \leftarrow \hat{x}'_k$，$P_{k-1} \leftarrow P'_k$。将预测代入校正得到标准观测器：

\hat{x}'_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)

• $F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k$：带输入（电压）的对象模型。
• $\vec{z}_k$：测量值（电流）。
• $K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)$：最小化误差 $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k \to 0$ 的校正项。

结果，模型的虚拟电流与实际电流同步，坐标 $\hat{x}'_k$ 反映真实状态，包括转子转速。

对中高级开发者的关键优势：

• 随机解释：协方差 $P_k$、$Q_k$、$R_k$ 考虑模型和测量不确定性。
• 递归性：迭代算法适合实时系统（DSP、嵌入式）。
• 最优性：在高斯噪声下最小化均方估计误差。
• 可扩展性：易于适应非线性情况（EKF/UKF）。

核心要点

• 卡尔曼滤波器等同于线性系统加性噪声下的最优随机观测器。
• 校正项 $K'_k$ 通过最小化创新 $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k$ 确保模型与现实同步。
• 在电机中的应用：基于电流/电压的虚拟转速计，无需物理速度传感器。
• 随机设置中的观测问题等同于滤波问题；卡尔曼是贝叶斯递归的特例。

— Editorial Team