Filtre de Kalman en tant qu'Observateur : Formules et Application

L'observateur comme filtre de Kalman stochastique : connexion mathématique

Le filtre de Kalman met en œuvre l'observation optimale de systèmes dynamiques par correction stochastique de l'état. Dans le contexte de la modélisation du moteur électrique d'une pompe submersible, les tensions de phase servent d'entrées au modèle, tandis que les courants agissent comme des mesures pour synchroniser le modèle virtuel avec l'objet réel. Cela permet d'extraire des paramètres non directement accessibles, comme la vitesse du rotor.

Modèle mathématique pour la prédiction de l'état :

\begin{align}
  & \hat{x}_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k \\
  & P_k = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k
\end{align} \tag{1}

Ici, $F_k$ est la matrice de dynamique du système en temps discret (moteur électrique), $\hat{x}_k$ est le vecteur d'état estimé avec la covariance $P_k = Cov(\hat{x}_k)$, $Q_k$ est la covariance du bruit de processus (perturbations dues aux fractions d'huile non uniformes), $\vec{u}_k$ sont les entrées déterministes (tensions de phase), et $B_k$ est la matrice d'entrée.

Correction basée sur les mesures

Courants quasi-capteurs prédits : $\vec{\mu}_{expected} = H_k \hat{x}_k$, avec covariance $\Sigma_{expected} = H_k P_k H_k^T$. Mesures réelles des courants : $\vec{z}_k$ avec covariance $R_k = Cov(\vec{z}_k)$.

La combinaison de la prédiction et de la mesure via le produit gaussien donne les estimations corrigées :

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = \vec{\mu}_0 + K(\vec{\mu}_1 - \vec{\mu}_0) \\
  & \Sigma' = \Sigma_0 - K \Sigma_0 \\
  & K = \Sigma_0 (\Sigma_0 + \Sigma_1)^{-1}
\end{align} \tag{4}

Où $(\vec{\mu}_0, \Sigma_0) = (H_k \hat{x}_k, H_k P_k H_k^T)$, $(\vec{\mu}_1, \Sigma_1) = (\vec{z}_k, R_k)$. Connexion à l'espace d'état :

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = H_k \hat{x}'_k \\
  & \Sigma' = H_k P'_k H_k^T
\end{align} \tag{5}

La substitution conduit aux formules de correction standard de Kalman :

\begin{align}
  & \hat{x}'_k = \hat{x}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k) \\
  & P'_k = P_k - K'_k H_k P_k \\
  & K'_k = P_k H_k^T (H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}
\end{align} \tag{8}

Forme canonique de l'observateur

Schéma d'itération complet : prédiction via (1), correction via (8), puis $\hat{x}_{k-1} \leftarrow \hat{x}'_k$, $P_{k-1} \leftarrow P'_k$. La substitution de la prédiction dans la correction donne l'observateur canonique :

\hat{x}'_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)

• $F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k$ : modèle de l'objet avec entrées (tensions).
• $\vec{z}_k$ : mesures (courants).
• $K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)$ : correction minimisant l'erreur $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k \to 0$.

En conséquence, les courants virtuels du modèle se synchronisent avec les courants réels, et les coordonnées $\hat{x}'_k$ reflètent les états réels, y compris la vitesse du rotor.

Principaux avantages pour les développeurs intermédiaires/seniors :

• Interprétation stochastique : Les covariances $P_k$, $Q_k$, $R_k$ tiennent compte des incertitudes du modèle et des mesures.
• Récursivité : L'algorithme itératif convient aux systèmes temps réel (DSP, embarqué).
• Optimalité : Minimise l'erreur quadratique moyenne d'estimation sous bruit gaussien.
• Évolutivité : Facilement adaptable aux cas non linéaires (EKF/UKF).

Points clés à retenir

• Le filtre de Kalman est équivalent à un observateur stochastique optimal pour les systèmes linéaires avec bruit additif.
• Le terme de correction $K'_k$ assure la synchronisation du modèle avec la réalité en minimisant les innovations $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k$.
• Application aux moteurs électriques : tachymètre virtuel basé sur les courants/tensions sans capteur de vitesse physique.
• Le problème d'observation en contexte stochastique équivaut à un problème de filtrage ; Kalman est un cas particulier de récursion bayésienne.

— Editorial Team