Filtro de Kalman como Observador: Fórmulas y Aplicación

El Observador como un Filtro de Kalman Estocástico: Conexión Matemática

El filtro de Kalman implementa la observación óptima de sistemas dinámicos mediante la corrección estocástica del estado. En el contexto del modelado del motor eléctrico de una bomba sumergible, los voltajes de fase sirven como entrada del modelo, mientras que las corrientes actúan como mediciones para sincronizar el modelo virtual con el objeto real. Esto permite extraer parámetros no directamente accesibles, como la velocidad del rotor.

Modelo matemático para la predicción del estado:

\begin{align}
  & \hat{x}_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k \\
  & P_k = F_k P_{k-1} F_k^T + Q_k
\end{align} \tag{1}

Aquí, $F_k$ es la matriz de dinámica del sistema en tiempo discreto (motor eléctrico), $\hat{x}_k$ es el vector de estado estimado con covarianza $P_k = Cov(\hat{x}_k)$, $Q_k$ es la covarianza del ruido del proceso (perturbaciones por fracciones de aceite no uniformes), $\vec{u}_k$ son entradas deterministas (voltajes de fase) y $B_k$ es la matriz de entrada.

Corrección Basada en Mediciones

Corrientes cuasi-sensor predichas: $\vec{\mu}_{expected} = H_k \hat{x}_k$, con covarianza $\Sigma_{expected} = H_k P_k H_k^T$. Mediciones reales de corriente: $\vec{z}_k$ con covarianza $R_k = Cov(\vec{z}_k)$.

Combinando predicción y medición mediante el producto gaussiano se obtienen estimaciones corregidas:

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = \vec{\mu}_0 + K(\vec{\mu}_1 - \vec{\mu}_0) \\
  & \Sigma' = \Sigma_0 - K \Sigma_0 \\
  & K = \Sigma_0 (\Sigma_0 + \Sigma_1)^{-1}
\end{align} \tag{4}

Donde $(\vec{\mu}_0, \Sigma_0) = (H_k \hat{x}_k, H_k P_k H_k^T)$, $(\vec{\mu}_1, \Sigma_1) = (\vec{z}_k, R_k)$. Conexión al espacio de estados:

\begin{align}
  & \vec{\mu}' = H_k \hat{x}'_k \\
  & \Sigma' = H_k P'_k H_k^T
\end{align} \tag{5}

La sustitución conduce a las fórmulas de corrección estándar de Kalman:

\begin{align}
  & \hat{x}'_k = \hat{x}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k) \\
  & P'_k = P_k - K'_k H_k P_k \\
  & K'_k = P_k H_k^T (H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}
\end{align} \tag{8}

Forma Canónica del Observador

Esquema de iteración completo: predicción mediante (1), corrección mediante (8), luego $\hat{x}_{k-1} \leftarrow \hat{x}'_k$, $P_{k-1} \leftarrow P'_k$. Sustituyendo la predicción en la corrección se obtiene el observador canónico:

\hat{x}'_k = F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k + K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)

• $F_k \hat{x}_{k-1} + B_k \vec{u}_k$: modelo del objeto con entradas (voltajes).
• $\vec{z}_k$: mediciones (corrientes).
• $K'_k (\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k)$: corrección que minimiza el error $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k \to 0$.

Como resultado, las corrientes virtuales del modelo se sincronizan con las reales, y las coordenadas $\hat{x}'_k$ reflejan los estados verdaderos, incluida la velocidad del rotor.

Ventajas clave para desarrolladores de nivel medio/senior:

• Interpretación estocástica: Las covarianzas $P_k$, $Q_k$, $R_k$ tienen en cuenta las incertidumbres del modelo y de las mediciones.
• Recursividad: Algoritmo iterativo adecuado para sistemas en tiempo real (DSP, embebidos).
• Optimalidad: Minimiza el error cuadrático medio de estimación bajo ruido gaussiano.
• Escalabilidad: Fácilmente adaptable a casos no lineales (EKF/UKF).

Conclusiones Clave

• El filtro de Kalman es equivalente a un observador estocástico óptimo para sistemas lineales con ruido aditivo.
• El término de corrección $K'_k$ asegura la sincronización del modelo con la realidad minimizando las innovaciones $\vec{z}_k - H_k \hat{x}_k$.
• Aplicación a motores eléctricos: tacómetro virtual basado en corrientes/voltajes sin un sensor de velocidad físico.
• El problema de observación en entornos estocásticos equivale a un problema de filtrado; Kalman es un caso especial de recursión bayesiana.

— Editorial Team