Multiplying tool based on Slonimsky's theorem

In the XIX century there were interesting tools for multiplication, built on the basis of the Slonimsky theorem. This is the "Shell for Multiplication" by Slonim and Ioffe bars. It is impossible to read anything about these tools on the Internet, except for a meager description of the appearance, for any good description of the working method (in the style of “it worked like this”), borrowed from the book “History of Computer Engineering” by I.A. Apokin, L.E. Maistrov, “Science” 1990. The description does not disclose the principle of operation of devices. The literature cited by the author of the book is unacceptably difficult to obtain. I decided to open the algorithm of the device on my own, and to demonstrate - to make my own analogue.

Purpose of writing an article

This article is for those who, just like me, are interested in the history of computer technology.
Theoretically, a good description of these tools should be in the book “Devices and machines for the mechanical production of arithmetic operations: Description of the device and estimation of the score. instruments and machines ”/ V.G. von Bohl. - Moscow: Tipo. t-va I.N. Kushnerev and Co. °, 1896. - 244 p.: Ill., Damn .; 24.
But I didn’t get to the Lenin library, where it is stored, but it doesn’t matter. The main thing is that there is no information on the Internet, but I wanted it to be, because, hopefully, I was not the only one puzzled by its search.

Why Habr is selected as the placement of the article

The article is devoted, albeit ancient, but still computing technology. Therefore, is suitable for Habr on a subject.
Habr is well indexed, and I need that the information stated in article could be found. In addition, the community will help me refine the article in terms of quality of presentation.

The source data that I managed to find

On the Internet I came across a description of an interesting mathematical tool developed by Z. Ya. Slonim .

In the middle of the last century Z.Ya. Slonimsky (1810-1904) proposed a simple multiplying device based on the theorem proved by him. This device made it possible to obtain products of any number (the capacity of which did not exceed the capacity of the device) by any single digit. In other words, it was something like a mechanical multiplication table for any number by 2, 3, 4, ..., 9. Later, Slonimsky's theorem was used to create another simple multiplier device (Ioffe counting bars).

Based on his theorem, Slonimsky compiled a table consisting of 280 columns - 9 numbers each. This table is printed on the cylinders, which are the main element of the device. Cylinders can move in two directions: along the axis and around it. Two mini-cylinders are also worn on the axis on which the cylinder is located. The numbers from 0 to 9 are printed on the surface of one mini-cylinder, and the letters a, b, c, d and numbers (from 1 to 7) are applied to the surface of another.

On the lid of the device are 11 rows of reading windows, in the first (lower) row you can see the set number (multiplicable). In the second and third rows of windows, when setting a multiplier, letters and numbers appear. Their combination is the key to the operator. Thanks to him, he knows which screw and how much to turn. After that, numbers appear in the 4th to 11th rows of windows: in the 4th row - the product of the multiplicable by 2, in the 5th - by 3, in 6 - by 4, etc. Thus, the product is at our disposal multiplier for all digits of the multiplier. Now it remains the usual way (on paper) to add these results and get the desired product.

Reading this caused me, as probably yours, a reaction: nothing is clear. But the description of the bars of Joffe already leads to some thoughts:

The counting bars were proposed by Ioffe in 1881. In 1882, they received an honorary review at the All-Russian Exhibition. The principle of working with them is based on the Slonimsky theorem. The Ioffe device consisted of 70 tetrahedral bars. This allowed to place 280 columns of the Slonim table on 280 faces. Each bar and each column were marked, for which Arabic and Roman numerals and letters of the Latin alphabet were used. Latin letters and Roman numerals served to indicate the order in which the bars had to be placed in order to obtain the product of the multiplier by a single-digit factor. The resulting works (and there are as many as the number of digits in the factor) were added up (just like when using the Slonimsky multiplier) with a pencil and paper.

Those. it turns out that having 280 columns with numbers, one can add from them a table of products of any arbitrary number by a series of one-digit numbers.

From there:

Bool, in 1896, came to the following conclusion: “The Ioffe bars simplify the multiplication of numbers even more than the sticks of Napier and their modifications. After the simple witty bars of Luke and Zhanoi, this is the best of arithmetic devices for multiplication. ”

Luke and Janoia bars are also an interesting topic, about which there is even less information, but the article is not about them.

Some result was given by the search for Slonimsky's theorem.
Here is what the Bulletin of the Syktyvkar University writes . Ser. 1. Issue 13.2011. UDC 512.6, 517.987 “On the 200th Anniversary of the Birth of the Creators of Computing Machines Presented for the Demid Prize, Kh.Z. Slonimsky and G. Kummer. " V.P. Odinets

1. Suppose we have a natural number in the system J with base r written bitwise a _m a _m-1 ... a ₂ a ₁ . We multiply it sequentially by 1, 2, 3, ..., r-1, and we will sign the resulting products one under the other in compliance with the rule of categories. As a result, we get m + 1 columns (fill the empty spaces on the left with zeros), each of which contains an r-1 digit. The location of the numbers in the column is called the column representation . Multiplication of all kinds of numbers by 1, 2, ..., r-1 generates an infinite number of representations. However, the number of different representations is finite and is given by the formula

Где φ(n) — функция Эйлера, заданная на множестве N натуральных чисел, значение которой (для любого n ∈ N) равно количеству натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.

2. Пусть теперь r = 10, т.е. система счисления J десятичная. Тогда произведение любой дроби, заключённой между двумя соседними Фареевыми дробями p_i/q_i и p_i+1/q_i+1 на числа 1, 2, 3, ..., 9 порождает для целых частей полученных чисел то же представление, что и для целых частей последовательности произведений на числа 1, 2, 3,… 9 Фареевой дроби p_i/q_i

Full article is here .

The wording was not useful to me. I did not look for a proof of the theorem, so to speak, I took Slonimsky's word. An important moment of this theorem for my problem was that "the number of different representations is finite and is given by the formula ...". And, as follows from the theorem and from the design of the Slonimsky device, for the decimal system, there are 280 representations of the columns.

Slonimsky table

Для воссоздания прибора, действующего на основе той же математической идеи, я получил таблицу Слонимского по алгоритму, описанному в вышеуказанной статье.
Я вооружился FireBug и начал вычислять.
Далее в статье будут встречаться фрагменты JavaScript. Этот язык — основа моей профессиональной деятельности, поэтому я использовал его. Тем не менее, я полагаю, что использованные мной формулы достаточно просты, чтобы специфика языка не затрудняла их понимания, а в некоторых местах я специально использовал не принятые в JavaScript приёмы, чтобы сделать код более понятным для программистов на других языках.

Согласно статье, для построения основной таблицы Слонимского для десятичной системы счисления, была взята последовательность Фарея
F (9) = {0, 1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 2/9, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2 / 5, 3/7, 4/9, 1/2, 5/9, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 7/9, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9, 1}. 28 numbers of the sequence F (9), except 1, were each multiplied by a series of numbers from 0 to 9 and only the whole parts of the obtained products were taken. The resulting columns of numbers are numbered in increasing order of Farey numbers starting from 0.

The values ​​of the table are obtained by the formula

B[c][r] = Math.floor(F[c]*r);

Here c is the column number, r is the row number.

Slonimsky Main Table (B)

r \ c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	eleven	12	thirteen	14	fifteen	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
4	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3
5	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4
6	0	0	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	5	5	5	5
7	0	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	2	3	3	3	3	4	4	4	4	5	5	5	5	5	6	6	6
8	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	3	3	3	3	4	4	4	4	5	5	5	6	6	6	6	6	7	7
9	0	1	1	1	1	1	2	2	2	3	3	3	3	4	4	5	5	5	5	6	6	6	7	7	7	7	7	8

To obtain the complete Slonimsky table, an auxiliary table P was constructed, which is a multiplication table for numbers from 0 to 9 in the Pythagorean representation.

P[c][r] = c*r;

r \ c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	fifteen	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	fifteen	20	25	thirty	35	40	45
6	0	6	12	18	24	thirty	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Each column of table B is vectorially combined with each column of table P. Thus, an intermediate table DU containing 280 columns is obtained.

DU[b*10+p][r] = B[b][r] + P[p][r];

Based on it, two tables U and D are constructed containing, respectively, the digits of the category of units and the category of tens of received amounts.

  U[c][r] = DU[c][r] % 10;
  D[c][r] = Math.floor(DU[c][r]/10);

Обнаружено, что таблица разряда единиц (U) содержит не повторяющиеся столбцы, тогда как все столбцы таблицы разряда десятков (D) встречаются и в таблице U, и в таблице B.

Таким образом таблица U исчерпывает все порождённые столбцы. Следовательно, она и является полной таблицей Слонимского.

Для удобства дальнейшей работы, я пометил, с каким столбцом таблицы B совпадает каждый столбец таблицы D, и теми же номерами пометил столбцы того же номера таблицы U (строка q обеих таблиц), а для ещё большего удобства ввёл массив Q, содержащий указанные значения, под номерами, соответствующими номерам столбцов в таблицах D и U.

Вскрытие алгоритма

Сперва я обратил внимание на то, что группа столбцов с b=0 таблицы DU — совпадает с таблицей Пифагора.

c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
b	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
r \ p	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Второе наблюдение: если выбрать из таблицы U столбцы с p=0, составленная из них таблица совпадает с таблицей B.

c	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130
b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
r \ p	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
4	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
5	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	2	2	2
6	0	0	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2
7	0	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	2	3	3
8	0	0	1	1	1	1	1	2	2	2	3	3	3	3
9	0	1	1	1	1	1	2	2	2	3	3	3	3	4
q	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Продолжение

c	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250	260	270
b	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
r \ p	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
4	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	3
5	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4
6	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	5	5	5	5
7	3	3	4	4	4	4	5	5	5	5	5	6	6	6
8	4	4	4	4	5	5	5	6	6	6	6	6	7	7
9	4	5	5	5	5	6	6	6	7	7	7	7	7	8
q	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Значит каждый столбец D[i] таблицы D входит в таблицу U как столбец у которого b=Q[i], p=0.

Очевидно, что последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр этих чисел. Следовательно, если я возьму из нулевой группы таблицы U столбец под номером, равным последней цифре умножаемого, то это и будет последний столбец составляемой таблицы произведений умножаемого числа на ряд одноразрядных чисел.

Тогда я предположил, что q — это номер группы, из которой я должен взять столбец для следующего разряда. Начинать решил с группы 0.
Провёл вычислительный эксперимент с помощью FireBug — вроде как получается.

Возьмём для примера случайное четырёхразрядное (чтобы эксперимент был не слишком простым) число. При подготовке статьи, я сделал это так:

value = (100 + Math.floor(Math.random()*(999-100)))*10 + 1 + Math.floor(Math.random()*(9-1));

Такая формула гарантирует, что будет получено число не меньше 1000 и что в разряде единиц не будет нуля.
При крайней сборке статьи, рандом выдал мне value = 3212.
Возьмём из группы 0 таблицы U столбец 2:

c	2
b	0
r \ p	2
0	0
1	2
2	4
3	6
4	8
5	0
6	2
7	4
8	6
9	8
q	5

Видим, что для него q = 5. Теперь для следующего разряда возьмём из группы 5 столбец 1:

c	51	2
b	5	0
r \ p	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	4
3	3	6
4	4	8
5	6	0
6	7	2
7	8	4
8	9	6
9	0	8
q	1	5

Для этого столбца q = 1. Продолжим таблицу аналогичным образом, и получим:

c	53	12	51	2
b	5	1	5	0
r \ p	3	2	1	2
0	0	0	0	0
1	3	2	1	2
2	6	4	2	4
3	9	6	3	6
4	2	8	4	8
5	6	0	6	0
6	9	2	7	2
7	2	4	8	4
8	5	6	9	6
9	8	9	0	8
q	8	5	1	5

Цифры у нас кончились, очередное q = 8. Очевидно, нужно из группы 8 взять нулевой столбец. Получаем:

c	80	53	12	51	2
b	8	5	1	5	0
r \ p	0	3	2	1	2
0	0	0	0	0	0
1	0	3	2	1	2
2	0	6	4	2	4
3	0	9	6	3	6
4	1	2	8	4	8
5	1	6	0	6	0
6	1	9	2	7	2
7	2	2	4	8	4
8	2	5	6	9	6
9	2	8	9	0	8
q	0	8	5	1	5

Легко видеть, что в строках этой таблицы находятся произведения нашего числа 3212 на 0, 1, 2,… 9.

Разбор эксперимента

Труднее было разобраться, почему это работает.
Итак, у нас есть 28 групп (от 0 по 27) по 10 столбцов. Группам присвоены те же номера, что и столбцам таблицы B.
В таблицах DU, U и D в строке b содержится номер группы, в строке p — номер столбца в группе.

Введём функции:
Функция умножения числа на вектор {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} (вектор представлен массивом)

function mul(n){
  var result = new Array(10);
  for(var i=0; i<10; ++i){
    result[i]=n*i;
  }
  return result;
}

Функция векторного сложения двух массивов

function sum(a, b){
  var result = new Array(10);
  for(var i=0; i<10; ++i){
    result[i]=a[i]+b[i];
  }
  return result;
}

Функция получения массива, содержащего значения разряда единиц значений исходного массива

function unit(a){
  var result = new Array(10);
  for(var i=0; i<10; ++i){
    result[i]=a[i] % 10;
  }
  return result;
}

Функция получения массива, содержащего значения разряда десятков значений исходного массива

function deca(a){
  var result = new Array(10);
  for(var i=0; i<10; ++i){
    result[i]=Math.floor(a[i] / 10);
  }
  return result;
}

Нетрудно сравнить формулы и заметить, что каждый столбец таблицы P, это ни что иное, результат функции mul для номера столбца;
столбцы таблиц D и U получены из столбцов таблицы DU с помощью функций unit и deca соответственно;
каждый столбец таблицы DU получен суммированием одного столбца таблицы B и одного столбца таблицы P, что соответствует использованию функции sum.

Вспомним алгоритм умножения в столбик многоразрядного числа на одноразрядное:

Пусть
a_na_n-1...a₁a₀ — множимое, записанное поразрядно;
b — одноразрядный множитель;
с_n+1c_n...c₁c₀ — результат, записанный поразрядно(полагаем, что результат на один разряд длиннее множимого, в большинстве случаев так и будет, в остальных — от ведущего нуля ещё никто не умирал);
m₀, m₁,… m_n — значения, переносимые в старший разряд (при вычислении на бумаге записываются «наверх»);
floor — функция округления вниз;
% — операция получения остатка от деления.
Переменная x будет использоваться как локальная и перевычисляться для каждого разряда.

1. Берём из таблицы умножения (она у каждого из нас в памяти) произведение нулевого разряда множимого на множитель:
x = a₀*b;
разряд единиц числа x без изменений записываем в результат: c₀ = x % 10;
разряд десятков числа х записываем «наверх»: m₀ = floor(x/10).

2. Берём из таблицы умножения произведение первого разряда множимого на множитель и прибавляем к нему значение «сверху»:
x = a₁*b + m₀
разряд единиц — записываем в результат: c₁ = x % 10;
разряд десятков — записываем «наверх»: m₁ = floor(x/10).

3. Аналогично поступаем для разрядов со 2 по n:
x = a_i*b + m_i-1
c_i = x % 10;
m_i = floor(x/10).

4. Полученное при вычислении разряда n значение m_n даст нам последний разряд результата:
c_n+1 = m_n.

Полагаю, все согласны? В описании ошибок нет? Тогда размышляем дальше:

Таблица Слонимского служит для получения произведений произвольного числа на ряд чисел от 0 до 9.
Если бы мы решили умножать в столбик, то умножали бы множимое число десять раз и получили по набору с_n+1c_n...c₁c₀ и m₀, m₁,… m_n для каждого из десяти множителей.
Поскольку мы хотим вскрыть алгоритм Слонимского, введём ещё массив j₀… j_n+1, в котором будем хранить номера столбцов таблицы U, соответствующих столбцам результата умножения.

Для упрощения формы записи, воспользуемся введёнными нами функциями, и пройдёмся по тем же пунктам вышеупомянутого алгоритма:
1. Вычислим
x = mul(a₀);
Очевидно, что x совпадает со столбцом № a₀ таблицы Пифагора (P) и, что интересно, со столбцом p=a₀, b=0 таблицы DU. В таблицах DU, U и D номер столбца вычисляется как b*10+p, следовательно
x = DU[a₀]
Теперь нам нужны единицы, чтобы записать в результат, и десятки, чтобы записать «наверх»:
c₀ = unit(x);
m₀ = deca(x);
в данном случае c₀ и m₀ — массивы.
Обратим внимание, что c₀ получен точно так же, как столбец p=a₀, b=0 таблицы U, а m₀ — как соответствующий столбец таблицы D.
Запишем:
j₀ = a₀;
c₀ = U[j₀];
m₀ = D[j₀].

2. Возьмёмся теперь за следующий разряд. Нам нужно вычислить произведения a₁ на вектор, а затем векторно прибавить к полученному массиву массив m₀:
x = sum(mul(a₁), m₀);
Разбираем эту формулу:
mul(a₁) совпадает со столбцом P[a₁].

В шаге 1 было вычислено:
m₀ = D[j₀].
Вспомним теперь, что для каждого столбца таблицы D найден номер q, под которым этот столбец входит в таблицу B. Этот номер мы для удобства записали в строку q таблиц U и D и в массив Q.
Теперь запишем:
m₀ = D[j₀] = B[Q[j₀]];
Да простят мне программисты и математики такое смешение стилей.

Оба слагаемых разобраны. Теперь вспомним о сумме. Одно из слагаемых является членом таблицы P, а другое — таблицы B. Все суммы на этот случай у нас посчитаны и входят в таблицу DU.
Следовательно, искомый массив должен совпадать со столбцом таблицы DU, для которого p=a₁, b=Q[j₀]:
x = DU[Q[j₀]*10 + a₁].
Теперь нам снова нужны единицы и десятки от членов x:
c₁ = unit(x);
m₁ = deca(x);
и нам в этом снова помогут таблицы U и D.

Подведём итог второго шага:
j₁ = Q[j₀]*10 + a₁;
c₁ = U[j₁];
m₁ = D[j₁].

3. Уже можно подметить закономерность:
x = sum(mul(a_i), m_i-1);
а так как:
mul(a_i) = P[a_i],
m_i-1 = D[j_i-1] = B[Q[j_i-1]];
то:
x = DU[Q[j_i-1]*10 + a_i].
Следовательно:
j_i = Q[j_i-1]*10 + a_i;
c_i = U[j_i];
m_i = D[j_i].

4. Теперь посмотрим, что нам делать с m_n.
Последний перенос разряда это старший разряд результата. Но нам надо выбрать столбец таблицы U.
Проанализируем:
m_n = D[j_n].
D[j_n] входит в таблицу U как столбец b=Q[j_n], p=0, т.е.
D[j_n] = U[Q[j_n]*10].
Следовательно:
j_n+1 = Q[j_n]*10;
c_n+1 = U[j_n+1].
Поскольку никакое произведение одноразрядных чисел не может дать более чем двухразрядное число, массив m_n+1 будет содержать только нули. Вычисление закончено.

Теперь соберём в кучу найденные уравнения для j_i:
j₀ = a₀;
j_i = Q[j_i-1]*10 + a_i;
j_n+1 = Q[j_n]*10.
Они сводятся к одному уравнению
j_i = Q[j_i-1]*10 + a_i,
если принять, что
a_n+1 = 0 (что равносильно приписыванию ведущего нуля к множимому числу),
Q[j_-1] = 0.

Это означает, что чтобы сложить из столбцов таблицы U таблицу произведений числа a_na_n-1...a₁a₀ на одноразрядные числа, нужно каждый раз из группы b=Q[j_i-1] брать столбец p=a_i, причём строка q того же столбца таблицы подскажет нам, какая группа столбцов будет следующей, а начать работу нужно с группы столбцов 0.

Продемонстрированный в эксперименте алгоритм выведен аналитически.

Резюмирую:

Найденный алгоритм можно описать как автоматный, где входной строкой является умножаемое число, читаемое справа налево (от младших разрядов к старшим), а состояниями являются номера групп столбцов. На каждом этапе работы мы берём из группы под номером состояния столбец под номером очередной цифры и переходим в состояние под номером из строки q этого столбца.
Для корректного завершения работы алгоритма, к множимому числу нужно дописать ведущий ноль.

Материальная реализация

Этот раздел не имеет особого значения для статьи, я мог бы его не включать. Но для галочки пусть будет.

Ни «снаряд» Слонимского, ни бруски Иоффе не были мной восстановлены. Для воссоздания аутентичных копий нужно больше информации о самих изделиях.

Свой вариант инструмента я создавал с целью его эксплуатации на РИ живого действия по эпохам, для которых изделие не являлось бы анахронизмом, а так же натурной демонстрации алгоритма работы.
Аутентичность какому-либо историческому образцу не предполагалась. Во главу угла ставилось удобство эксплуатации.

С точки зрения эксплуатации, столбцы нужно размещать на носителе таким образом, чтобы их легко было сортировать как по группам так и по номерам. Причём, исходя из алгоритма работы, сперва нужно выбирать нужную группу, а потом нужный столбец.

Должен заметить, что удобно разместить столбцы на четырёхгранных брусках, как у Иоффе, мне не удалось. Подозреваю, что бруски Иоффе были не такими уж удобными.

28 групп по 10 столбцов удобно размещать на двухсторонних рейках. При этом каждая группа столбцов наносилась на собственные пять реек.

Для уменьшения объёма наносимой на рейки информации, на рейки не наносилась нулевая строка таблицы, т.к. она содержит во всех столбцах цифру 0. Номер столбца отдельно не наносился, т.к. он совпадает с цифрой в первой строке таблицы. Номер группы, к которой принадлежит рейка, был нанесён римскими цифрами на боковые грани рейки. Он нужен только для сортировки реек в случае их случайного перемешивания (чего в ходе эксплуатации нужно избегать).

Значение q столбца нанесено на каждой рейке ниже разделительной горизонтальной линии.

Рейки изготовлены из алюминиевой полосы 50х2 мм, которая для этого была напилена электролобзиком примерно по 4-6 мм (слишком узкие браковались, слишком широкие либо подтачивались точильным диском, либо также браковались).
Цифры нанесены гравировальной фрезой.
Для хранения реек был высверлен из соснового бруса 50х40 мм деревянный органайзер. Да, знаю, что можно продумать лучше, но до игры оставалось 2 дня, а силы после гравировки 2800 циферок были на исходе.
Номера групп и столбцов нанесены на органайзер гелевой ручкой.

Из-за загадочных глюков с исчезновением картинок, фотографии добавлены с помощью комментария habrahabr.ru/post/232255/#comment_7940351

Источники

1. Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып.13.2011. УДК 512.6, 517.987 «К 200-летию со дня рождения создателей вычислительных машин, представленных к демидовской премии, Х.З. Слонимского и Г. Куммера». В.П. Одинец;
2. Теорема Слонимского и простые вычислительные устройства на ее основе.

P.S. Да благословит Дух Машины ваш сервер, ибо он пережил отправку почти 200кб кода, а с учётом эскапирования — все 500.