Odtržení těla od polokoule: přesné vzorce

Odtržení tělesa od povrchu: od klasické polokoule k zobecněným úlohám mechaniky

Těleso o hmotnosti m je umístěno na vrcholu hladké polokoule o poloměru R v gravitačním poli g. Počáteční horizontální rychlost je v₀. Je třeba najít úhel φ, při kterém se těleso odtrhne od povrchu (N=0).

Poloměrem a tvarem tělesa zanedbáváme. Dostředivé zrychlení směřuje ke středu O.

Školní metoda pomocí druhého Newtonova zákona

Do druhého Newtonova zákona v radiální projekci:

ma_r = mg\cos\phi - N

kde a_r = v²/R. Při odtržení N=0:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Zákon zachování energie:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Zjednodušení:

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

Při v₀ > √(gR) dochází k odtržení okamžitě (φ=0).

Odvození zákona energie bez předpokladů

Uražená dráha s = φR, rychlost v = R dφ/dt, tečné zrychlení dv/dt = g sin φ.

Separace proměnných:

v dv = gR \sin\phi d\phi

Integrace s počátečními podmínkami vede ke stejnému zákonu zachování energie:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Dále — dosazení a řešení jako v první metodě.

Zobecnění na libovolnou konvexní plochu

Uvažujme plochu y(x) s y''(x) < 0, vrchol v (0, H), y(0)=H, y'(0)=0. Odtržení v (x, y), N=0.

Poloměr křivosti R v bodě, úhel φ mezi normálou a svislicí:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Přechod k h = y - y_{O'} (O' — okamžitý střed):

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

Zákon energie:

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

Dosazení dává diferenciální rovnici Cauchyho:

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

Řešení (Wolfram Alpha):

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

Bod odtržení — druhé průsečík y(x) s parabolou y = H - (g x²)/(2 v₀²). Není-li průsečík — odtržení na vrcholu.

Zahrnutí síly tření smyku

F_t = μN. Rovnice v radiální a tečné projekci:

ma_r = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

Vyjádření N a dosazení:

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

Lineární nehomogenní rovnice 1. řádu podle v² (Bernoulliho metoda):

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

Při N=0: v² = gR cos φ. Dosazení dává transcendentní rovnici pro φ (řešení numericky, 0 < φ < 90°).

• Pokud pouze φ=0 — odtržení okamžitě.

Rozšíření na odpor vzduchu

Přidejme F_c = k v². Tečná rovnice:

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

Struktura je analogická, řeší se stejnou metodou.

Co je důležité

• Pro hladkou polokouli: φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR)), odtržení okamžitě při v₀ > √(gR).
• Zobecnění: odtržení na průsečíku y(x) s parabolou y = H - (g x²)/(2 v₀²).
• S třením: transcendentní rovnice pro φ z explicitního v²(φ).
• Diferenciální rovnice řešitelné analyticky (Bernoulli) nebo numericky.
• Metoda aplikovatelná na odpor vzduchu bez komplikace struktury.

— Editorial Team