Desprendimiento del cuerpo del hemisferio: fórmulas exactas

Desprendimiento de un Cuerpo de una Superficie: Desde el Hemisferio Clásico hasta Problemas Generalizados de Mecánica

Un cuerpo de masa m se coloca en la cima de un hemisferio liso de radio R en un campo gravitatorio g. La velocidad horizontal inicial es v₀. Necesitamos encontrar el ángulo φ en el que el cuerpo se desprende de la superficie (N=0).

Despreciamos el radio y la forma del cuerpo. La aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro O.

Método de Bachillerato mediante la Segunda Ley de Newton

Segunda ley de Newton en la proyección radial:

ma_c = mg\cos\phi - N

donde a_c = v²/R. En el desprendimiento N=0:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Ley de conservación de la energía:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Simplificación:

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

Si v₀ > √(gR), el desprendimiento ocurre inmediatamente (φ=0).

Derivación de la Ley de Energía sin Suposiciones

Distancia recorrida s = φR, velocidad v = R dφ/dt, aceleración tangencial dv/dt = g sen φ.

Separación de variables:

v dv = gR \sin\phi d\phi

Integración con condiciones iniciales conduce a la misma ley de conservación de la energía:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Luego — sustitución y solución como en el primer método.

Generalización a una Superficie Convexa Arbitraria

Consideremos una superficie y(x) con y''(x) < 0, vértice en (0, H), y(0)=H, y'(0)=0. Desprendimiento en (x, y), N=0.

Radio de curvatura R en el punto, ángulo φ entre la normal y la vertical:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Transición a h = y - y_{O'} (O' — centro instantáneo):

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

Ley de energía:

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

Sustitución da una ecuación diferencial de Cauchy:

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

Solución (Wolfram Alpha):

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

El punto de desprendimiento es la segunda intersección de y(x) con la parábola y = H - (g x²)/(2 v₀²). Sin intersección — desprendimiento en el vértice.

Consideración de la Fuerza de Fricción por Deslizamiento

F_fric = μN. Ecuaciones en proyecciones radial y tangencial:

ma_c = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

Expresión para N y sustitución:

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

Ecuación lineal no homogénea de primer orden en v² (método de Bernoulli):

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

En N=0: v² = gR cos φ. Sustitución da una ecuación trascendental para φ (resuelta numéricamente, 0 < φ < 90°).

• Si solo φ=0 — desprendimiento inmediato.

Extensión a la Resistencia del Aire

Añadir F_c = k v². Ecuación tangencial:

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

Estructura análoga, resuelta por el mismo método.

Conclusiones Clave

• Para un hemisferio liso: φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR)), desprendimiento inmediato si v₀ > √(gR).
• Generalización: desprendimiento en la intersección de y(x) con la parábola y = H - (g x²)/(2 v₀²).
• Con fricción: ecuación trascendental para φ a partir de v²(φ) explícita.
• Las ecuaciones diferenciales se resuelven analíticamente (Bernoulli) o numéricamente.
• El método es aplicable a la resistencia del aire sin complicar la estructura.

— Editorial Team