物体从半球脱离：精确公式

物体从表面脱离：从经典半球问题到广义力学问题

一个质量为 m 的物体被放置在重力场 g 中半径为 R 的光滑半球顶部。初始水平速度为 v₀。我们需要找出物体从表面脱离（N=0）时的角度 φ。

我们忽略物体的半径和形状。向心加速度指向中心 O。

通过牛顿第二定律的高中解法

牛顿第二定律在径向投影上的表达式：

ma_c = mg\cos\phi - N

其中 a_c = v²/R。在脱离时 N=0：

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

能量守恒定律：

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

简化后：

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

如果 v₀ > √(gR)，则立即脱离（φ=0）。

无假设推导能量定律

移动距离 s = φR，速度 v = R dφ/dt，切向加速度 dv/dt = g sin φ。

变量分离：

v dv = gR \sin\phi d\phi

在初始条件下积分得到相同的能量守恒定律：

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

然后——代入并求解，方法与第一种相同。

推广到任意凸面

考虑一个表面 y(x)，其中 y''(x) < 0，顶点在 (0, H)，y(0)=H，y'(0)=0。脱离点在 (x, y)，N=0。

该点的曲率半径 R，法线与垂直方向之间的角度 φ：

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

转换为 h = y - y_{O'}（O'——瞬时中心）：

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

能量定律：

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

代入后得到一个柯西微分方程：

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

解（来自 Wolfram Alpha）：

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

脱离点是 y(x) 与抛物线 y = H - (g x²)/(2 v₀²) 的第二个交点。若无交点，则在顶点脱离。

考虑滑动摩擦力

F_fric = μN。径向和切向投影方程：

ma_c = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

N 的表达式和代入：

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

关于 v² 的线性非齐次一阶方程（伯努利方法）：

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

在 N=0 时：v² = gR cos φ。代入后得到一个关于 φ 的超越方程（数值求解，0 < φ < 90°）。

• 如果仅 φ=0——立即脱离。

扩展到空气阻力

添加 F_c = k v²。切向方程：

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

结构类似，用相同方法求解。

关键要点

• 对于光滑半球：φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR))，如果 v₀ > √(gR) 则立即脱离。
• 推广：脱离点在 y(x) 与抛物线 y = H - (g x²)/(2 v₀²) 的交点处。
• 考虑摩擦：从显式 v²(φ) 得到关于 φ 的超越方程。
• 微分方程可解析求解（伯努利方法）或数值求解。
• 该方法适用于空气阻力，不会使结构复杂化。

— Editorial Team