Ablösung des Körpers von der Halbkugel: exakte Formeln

Ablösen eines Körpers von einer Oberfläche: Von der klassischen Halbkugel zu verallgemeinerten Mechanikproblemen

Ein Körper der Masse m wird auf den Scheitel einer glatten Halbkugel mit Radius R in einem Gravitationsfeld g gesetzt. Die Anfangsgeschwindigkeit ist horizontal und beträgt v₀. Gesucht ist der Winkel φ, bei dem sich der Körper von der Oberfläche löst (N=0).

Der Radius und die Form des Körpers werden vernachlässigt. Die Zentripetalbeschleunigung ist zum Mittelpunkt O gerichtet.

Schulmethode über das zweite Newtonsche Gesetz

Das zweite Newtonsche Gesetz in radialer Projektion:

ma_c = mg\cos\phi - N

wobei a_c = v²/R. Beim Ablösen gilt N=0:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Energieerhaltungssatz:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Vereinfachung:

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

Falls v₀ > √(gR), erfolgt das Ablösen sofort (φ=0).

Herleitung des Energieerhaltungssatzes ohne Annahmen

Zurückgelegte Strecke s = φR, Geschwindigkeit v = R dφ/dt, Tangentialbeschleunigung dv/dt = g sin φ.

Trennung der Variablen:

v dv = gR \sin\phi d\phi

Integration mit Anfangsbedingungen führt zum gleichen Energieerhaltungssatz:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Danach — Einsetzen und Lösung wie in der ersten Methode.

Verallgemeinerung auf eine beliebige konvexe Oberfläche

Betrachtet wird eine Oberfläche y(x) mit y''(x) < 0, Scheitel bei (0, H), y(0)=H, y'(0)=0. Ablösen am Punkt (x, y), N=0.

Krümmungsradius R am Punkt, Winkel φ zwischen der Normalen und der Vertikalen:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Übergang zu h = y - y_{O'} (O' — momentaner Krümmungsmittelpunkt):

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

Energieerhaltungssatz:

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

Einsetzen ergibt eine Cauchy-Differentialgleichung:

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

Lösung (Wolfram Alpha):

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

Der Ablösepunkt ist der zweite Schnittpunkt von y(x) mit der Parabel y = H - (g x²)/(2 v₀²). Kein Schnittpunkt — Ablösen am Scheitel.

Berücksichtigung der Gleitreibungskraft

F_Reib = μN. Gleichungen in radialer und tangentialer Projektion:

ma_c = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

Ausdruck für N und Einsetzen:

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

Lineare inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung für v² (Bernoulli-Methode):

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

Bei N=0: v² = gR cos φ. Einsetzen ergibt eine transzendente Gleichung für φ (numerisch lösbar, 0 < φ < 90°).

• Falls nur φ=0 — sofortiges Ablösen.

Erweiterung auf Luftwiderstand

Hinzufügen von F_Luft = k v². Tangentialgleichung:

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

Struktur ist analog, lösbar mit derselben Methode.

Wichtige Erkenntnisse

• Für eine glatte Halbkugel: φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR)), sofortiges Ablösen falls v₀ > √(gR).
• Verallgemeinerung: Ablösen am Schnittpunkt von y(x) mit der Parabel y = H - (g x²)/(2 v₀²).
• Mit Reibung: transzendente Gleichung für φ aus explizitem v²(φ).
• Differentialgleichungen werden analytisch (Bernoulli) oder numerisch gelöst.
• Die Methode ist auf Luftwiderstand anwendbar, ohne die Struktur zu verkomplizieren.

— Editorial Team