Oderwanie ciała od półsfery: dokładne wzory

Oderwanie ciała od powierzchni: od klasycznej półkuli do uogólnionych zadań mechaniki

Ciało o masie m umieszczono na szczycie gładkiej półkuli o promieniu R w polu grawitacyjnym g. Początkowa prędkość pozioma wynosi v₀. Należy znaleźć kąt φ, przy którym ciało odrywa się od powierzchni (N=0).

Promień i kształt ciała pomijamy. Przyspieszenie dośrodkowe skierowane jest do środka O.

Metoda szkolna poprzez drugą zasadę dynamiki Newtona

W drugą zasadę dynamiki Newtona w rzucie radialnym:

ma_c = mg\cos\phi - N

gdzie a_c = v²/R. Przy oderwaniu N=0:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Prawo zachowania energii:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Uproszczenie:

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

Przy v₀ > √(gR) oderwanie następuje natychmiast (φ=0).

Wyprowadzenie prawa energii bez założeń

Przebyta droga s = φR, prędkość v = R dφ/dt, przyspieszenie styczne dv/dt = g sin φ.

Rozdzielenie zmiennych:

v dv = gR \sin\phi d\phi

Całkowanie z warunkami początkowymi prowadzi do tego samego prawa zachowania energii:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Dalej — podstawienie i rozwiązanie jak w pierwszej metodzie.

Uogólnienie na dowolną wypukłą powierzchnię

Rozważmy powierzchnię y(x) z y''(x) < 0, wierzchołek w (0, H), y(0)=H, y'(0)=0. Oderwanie w (x, y), N=0.

Promień krzywizny R w punkcie, kąt φ między normalną a pionem:

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Przejście do h = y - y_{O'} (O' — chwilowy środek):

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

Prawo energii:

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

Podstawienie daje równanie różniczkowe Cauchy'ego:

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

Rozwiązanie (Wolfram Alpha):

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

Punkt oderwania — drugie przecięcie y(x) z parabolą y = H - (g x²)/(2 v₀²). Brak przecięcia — oderwanie na wierzchołku.

Uwzględnienie siły tarcia ślizgowego

F_tr = μN. Równania w rzutach radialnym i stycznym:

ma_c = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

Wyrażenie N i podstawienie:

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

Liniowe równanie niejednorodne 1. rzędu względem v² (metoda Bernoulliego):

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

Przy N=0: v² = gR cos φ. Podstawienie daje równanie przestępne na φ (rozwiązanie numeryczne, 0 < φ < 90°).

• Jeśli tylko φ=0 — oderwanie natychmiast.

Rozszerzenie na opór powietrza

Dodajmy F_c = k v². Równanie styczne:

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

Struktura analogiczna, rozwiązuje się tą samą metodą.

Co jest ważne

• Dla gładkiej półkuli: φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR)), oderwanie natychmiast przy v₀ > √(gR).
• Uogólnienie: oderwanie na przecięciu y(x) z parabolą y = H - (g x²)/(2 v₀²).
• Z tarciem: równanie przestępne na φ z jawnego v²(φ).
• Równania różniczkowe rozwiązuje się analitycznie (Bernoulliego) lub numerycznie.
• Metoda stosuje się do oporu powietrza bez komplikacji struktury.

— Editorial Team