Détachement du corps de l'hémisphère : formules exactes

Détachement d'un corps d'une surface : de l'hémisphère classique aux problèmes de mécanique généralisés

Un corps de masse m est placé au sommet d'un hémisphère lisse de rayon R dans un champ gravitationnel g. La vitesse horizontale initiale est v₀. Il faut trouver l'angle φ auquel le corps se détache de la surface (N=0).

On néglige le rayon et la forme du corps. L'accélération centripète est dirigée vers le centre O.

Méthode du lycée via la deuxième loi de Newton

Deuxième loi de Newton en projection radiale :

ma_c = mg\cos\phi - N

où a_c = v²/R. Au détachement N=0 :

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Loi de conservation de l'énergie :

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Simplification :

v_0^2 + 2gR = 3gR\cos\phi

\phi = \arccos\left(\frac{v_0^2 + 2gR}{3gR}\right)

Si v₀ > √(gR), le détachement se produit immédiatement (φ=0).

Dérivation de la loi de l'énergie sans hypothèses

Distance parcourue s = φR, vitesse v = R dφ/dt, accélération tangentielle dv/dt = g sin φ.

Séparation des variables :

v dv = gR \sin\phi d\phi

Intégration avec conditions initiales menant à la même loi de conservation de l'énergie :

\frac{mv_0^2}{2} + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\phi)

Puis — substitution et solution comme dans la première méthode.

Généralisation à une surface convexe arbitraire

Considérons une surface y(x) avec y''(x) < 0, sommet en (0, H), y(0)=H, y'(0)=0. Détachement en (x, y), N=0.

Rayon de courbure R au point, angle φ entre la normale et la verticale :

\frac{v^2}{R} = g\cos\phi

Transition à h = y - y_{O'} (O' — centre instantané) :

v^2 = gh = g(y - y_{O'})

Loi de l'énergie :

\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgy

Substitution donnant une équation différentielle de Cauchy :

(v_0^2 + 2g(H - y)) y'' + g(1 + (y')^2) = 0

Solution (Wolfram Alpha) :

y = H - \frac{g x^2}{2 v_0^2}

Le point de détachement est la deuxième intersection de y(x) avec la parabole y = H - (g x²)/(2 v₀²). Aucune intersection — détachement au sommet.

Prise en compte de la force de frottement de glissement

F_frot = μN. Équations en projections radiale et tangentielle :

ma_c = mg\cos\phi - N

m \frac{dv}{dt} = -mg\sin\phi + \mu N

Expression pour N et substitution :

2v \frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - 2\mu v^2

Équation linéaire non homogène du 1er ordre en v² (méthode de Bernoulli) :

v^2(\phi) = \frac{2gR}{\mu^2 + 1} \left[ (2\mu^2 + 1)\cos\phi - \mu \sin\phi \right] + \left( v_0^2 - 2gR \frac{1 + 2\mu^2}{1 + 4\mu^2} \right) e^{-2\mu \phi}

À N=0 : v² = gR cos φ. Substitution donnant une équation transcendante pour φ (résolue numériquement, 0 < φ < 90°).

• Si seulement φ=0 — détachement immédiat.

Extension à la résistance de l'air

Ajouter F_c = k v². Équation tangentielle :

\frac{dv}{d\phi} = g(\mu \cos\phi - \sin\phi) - \frac{1}{2} (2\mu v^2 + k v^2)

Structure analogue, résolue par la même méthode.

Points clés à retenir

• Pour un hémisphère lisse : φ = arccos((v₀² + 2gR)/(3gR)), détachement immédiat si v₀ > √(gR).
• Généralisation : détachement à l'intersection de y(x) avec la parabole y = H - (g x²)/(2 v₀²).
• Avec frottement : équation transcendante pour φ à partir de v²(φ) explicite.
• Les équations différentielles sont résolues analytiquement (Bernoulli) ou numériquement.
• La méthode est applicable à la résistance de l'air sans complexifier la structure.

— Editorial Team