Diferenciál v geometrické algebře: numerická metoda

Zobecněný diferenciál v geometrické algebře prostřednictvím orientovaného objemu

V geometrické algebře (GA) lze diferenciál vyjádřit pomocí orientovaného objemu a geometrického součinu. Tato metoda využívá konečné diference na mřížce k interpolaci hodnot funkce v libovolných bodech okolí uzlu. Přístup rozděluje přírůstek na složku rovnoběžnou a kolmou vzhledem ke gradientu, což je výhodné pro numerické výpočty.

Metoda vychází z maticového vyjádření os pomocí Pauliho matic a pseudoskaláru. Umožňuje pracovat bez dodatečných mřížek a maticových násobení za běhu programu (runtime).

Základní značení

• Δ — konečné přírůstky na mřížce: kroky Δx, Δy, Δz a rozdíly funkce Δx f, Δy f, Δz f.
• δ — libovolné přírůstky v okolí uzlu.
• σ1, σ2, σ3 — jednotkové vektory os v bázi Pauliho matic:

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

• ⋅ — geometrický (maticový) součin.
• × — vektorový součin.
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — pseudoskalár.

Vektor X v této bázi: X = x σ3 + y σ2 + z σ1. Všimněte si prohozených os: σ3 odpovídá x, σ2 y a σ1 z.

Orientovaný objem a relativní objem

Orientovaný objem δV je tvořen obsahy stěn buňky a posunutími:

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

kde ΔSx = Δy Δz, ΔSy = Δx Δz, ΔSz = Δx Δy.

Relativní orientovaný objem (vydělením objemem buňky Δv = Δx Δy Δz):

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

Vektor konečných diferencí Δ(f) (analogie nenormalizovaného gradientu):

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

kde Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z) a obdobně pro ostatní osy.

Skalární a bivektorový přírůstek

Skalární přírůstek δf∥ (rovnoběžná složka):

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

Při limitě Δ, δ → 0 přechází na klasický diferenciál df.

Zobecněný diferenciál δg f jako geometrický součin δV' ⋅ Δ(f):

δg f = δf∥ + I δf⊥

Bivektorová část δf⊥:

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

δf⊥ = 0 právě tehdy, když je δV' rovnoběžný s Δ(f), tj. posunutí (δx, δy, δz) je kolineární s gradientem. V opačném případě bivektor kóduje:

• Normálu k rovině vektorů δV' a Δ(f).
• Ortogonální objekt v této rovině.
• Spolu s δf∥ vytváří strukturu analogickou komplexnímu číslu.

Výhody metody

• Interpolace mimo mřížku: Z hodnot Δx f, Δy f, Δz f v uzlu se vypočítá δg f pro libovolné (δx, δy, δz) v okolí.
• Oddělení složek: δf∥ představuje změnu podél posunutí, δf⊥ vyjadřuje odchylku od gradientu.
• Gradientové trajektorie: Podmínka δf⊥ = 0 určuje směry rovnoběžné s Δ(f).
• Efektivita: Pouze skalární operace, bez maticových výpočtů.

Příklad výpočtu

V uzlu (0,0,0): Δx = Δy = Δz = 0,1, Δx f = 0,2, Δy f = 0,3, Δz f = 0,4 (derivace 2, 3, 4).

Pro bod (0,02; 0,03; 0,04):

• δf∥ = (0,2/0,1)0,02 + (0,3/0,1)0,03 + (0,4/0,1)*0,04 = 0,29
• Koeficienty δf⊥: c3 = 0,3(0,04/0,1) - 0,4(0,03/0,1) = 0; obdobně c2 = 0, c1 = 0.

Posunutí je rovnoběžné s gradientem, δg f = 0,29.

Pro (0,03; 0,02; 0,04):

• δf∥ = 20,03 + 30,02 + 4*0,04 = 0,28
• c3 = 0,30,4 - 0,40,2 = 0,04; c2 = 0,40,3 - 0,20,4 = 0,04; c1 = 0,20,2 - 0,30,3 = -0,05.

Bivektor ≠ 0, metoda zaznamenává odchylku.

Klíčové poznatky

• Metoda vyjadřuje diferenciál pomocí relativního orientovaného objemu a konečných diferencí.
• Umožňuje interpolaci v libovolných bodech bez dodatečných mřížek.
• Bivektorová složka kvantitativně hodnotí nekolinearitu posunutí vůči gradientu.
• Je použitelný v numerických metodách s adaptivními mřížkami pro odhad přírůstků v libovolných směrech.
• Výpočty se redukují na skalární aritmetiku.

— Editorial Team