Diferencial en álgebra geométrica: método numérico

Diferencial generalizada en álgebra geométrica mediante volumen orientado

En el álgebra geométrica (AG), la diferencial puede expresarse utilizando el volumen orientado y el producto geométrico. Este enfoque aprovecha las diferencias finitas en una malla para interpolar valores de función en puntos arbitrarios cercanos a un nodo. El método descompone el incremento en componentes paralelos y ortogonales al gradiente, lo que lo hace sumamente útil para cálculos numéricos.

La técnica se basa en representaciones matriciales de los ejes mediante matrices de Pauli y un pseudoscalar. Permite realizar cálculos sin necesidad de mallas adicionales ni multiplicaciones matriciales en tiempo de ejecución.

Notación básica

• Δ — Incrementos finitos en la malla: pasos Δx, Δy, Δz y diferencias de la función Δx f, Δy f, Δz f.
• δ — Incrementos arbitrarios en la vecindad de un nodo.
• σ1, σ2, σ3 — Vectores unitarios de los ejes en la base de matrices de Pauli:

```math

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

```

• ⋅ — Producto geométrico (matricial).
• × — Producto vectorial.
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — Pseudoscalar.

Un vector X en esta base se expresa como: X = x σ3 + y σ2 + z σ1. Nótese la permutación de ejes: σ3 corresponde a x, σ2 a y y σ1 a z.

Volumen orientado y volumen relativo

El volumen orientado δV se construye a partir de las áreas de las caras de la celda y los desplazamientos:

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

donde ΔSx = Δy Δz, ΔSy = Δx Δz y ΔSz = Δx Δy.

El volumen orientado relativo (obtenido al dividir por el volumen de la celda Δv = Δx Δy Δz):

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

El vector de diferencias finitas Δ(f) (análogo a un gradiente no normalizado):

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

con Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z), y de manera análoga para los demás ejes.

Incrementos escalares y bivectoriales

El incremento escalar δf∥ (componente paralela):

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

Cuando Δ, δ → 0, esto converge a la diferencial clásica df.

La diferencial generalizada δg f como el producto geométrico δV' ⋅ Δ(f):

δg f = δf∥ + I δf⊥

La componente bivectorial δf⊥:

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

δf⊥ = 0 si y solo si δV' es paralelo a Δ(f), lo que significa que el desplazamiento (δx, δy, δz) es colineal con el gradiente. De lo contrario, el bivector codifica:

• La normal al plano generado por δV' y Δ(f).
• Un objeto ortogonal dentro de dicho plano.
• Junto con δf∥, forma una estructura análoga a un número complejo.

Ventajas del método

• Interpolación fuera de la malla: A partir de los valores Δx f, Δy f, Δz f en un nodo, δg f puede calcularse para cualquier (δx, δy, δz) en su proximidad.
• Separación de componentes: δf∥ representa el cambio a lo largo del desplazamiento, mientras que δf⊥ captura la desviación respecto al gradiente.
• Trayectorias del gradiente: La condición δf⊥ = 0 define direcciones paralelas a Δ(f).
• Eficiencia computacional: Se basa únicamente en operaciones escalares, eliminando el uso de matrices durante el cálculo.

Ejemplo de cálculo

En el nodo (0,0,0): Δx = Δy = Δz = 0.1, Δx f = 0.2, Δy f = 0.3, Δz f = 0.4 (lo que corresponde a derivadas 2, 3, 4).

Para el punto (0.02, 0.03, 0.04):

• δf∥ = (0.2/0.1)0.02 + (0.3/0.1)0.03 + (0.4/0.1)*0.04 = 0.29
• Coeficientes de δf⊥: c3 = 0.3(0.04/0.1) - 0.4(0.03/0.1) = 0; de forma similar, c2 = 0, c1 = 0.

El desplazamiento es paralelo al gradiente, lo que da δg f = 0.29.

Para el punto (0.03, 0.02, 0.04):

• δf∥ = 20.03 + 30.02 + 4*0.04 = 0.28
• c3 = 0.30.4 - 0.40.2 = 0.04; c2 = 0.40.3 - 0.20.4 = 0.04; c1 = 0.20.2 - 0.30.3 = -0.05.

El bivector no es nulo, lo que indica que el método captura correctamente la desviación.

Puntos clave

• El método expresa la diferencial a través del volumen orientado relativo y las diferencias finitas.
• Permite la interpolación en puntos arbitrarios sin mallas auxiliares.
• La componente bivectorial mide cuantitativamente la no colinealidad entre el desplazamiento y el gradiente.
• Es aplicable en métodos numéricos con mallas adaptativas para estimar incrementos en direcciones arbitrarias.
• Los cálculos se reducen por completo a aritmética escalar.

— Editorial Team