Differencjał w algebrze geometrycznej: metoda numeryczna

Uogólniona różniczka w algebrze geometrycznej wyrażona przez zorientowaną objętość

W algebrze geometrycznej (GA) różniczkę można wyrazić za pomocą zorientowanej objętości oraz iloczynu geometrycznego. Metoda ta wykorzystuje różnice skończone na siatce do interpolacji wartości funkcji w dowolnych punktach otoczenia węzła. Podejście to rozdziela przyrost na składową równoległą i ortogonalną względem gradientu, co znajduje szerokie zastosowanie w obliczeniach numerycznych.

Metoda opiera się na macierzowej reprezentacji osi z wykorzystaniem macierzy Pauliego oraz pseudoskalara. Pozwala ona na działanie bez konieczności tworzenia dodatkowych siatek ani wykonywania kosztownych mnożeń macierzowych w czasie rzeczywistym.

Podstawowe oznaczenia

• Δ — przyrosty skończone na siatce: kroki Δx, Δy, Δz oraz różnice funkcji Δx f, Δy f, Δz f.
• δ — dowolne przyrosty w otoczeniu węzła.
• σ1, σ2, σ3 — wersory osi w bazie macierzy Pauliego:

```math

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

```

• ⋅ — iloczyn geometryczny (macierzowy).
• × — iloczyn wektorowy.
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — pseudoskalar.

Wektor X w tej bazie: X = x σ3 + y σ2 + z σ1. Zwróć uwagę na zamienione osie: σ3 — x, σ2 — y, σ1 — z.

Zorientowana objętość i objętość względna

Zorientowaną objętość δV tworzą pola ścian komórki oraz przesunięcia:

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

gdzie ΔSx = Δy Δz, ΔSy = Δx Δz, ΔSz = Δx Δy.

Względna zorientowana objętość (poprzez podzielenie przez objętość komórki Δv = Δx Δy Δz):

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

Wektor różnic skończonych Δ(f) (odpowiednik nienormowanego gradientu):

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

gdzie Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z) i analogicznie dla pozostałych.

Przyrosty skalarne i biwektorowe

Przyrost skalarny δf∥ (składowa równoległa):

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

Przy Δ, δ → 0 przechodzi to w klasyczną różniczkę df.

Uogólniona różniczka δg f jako iloczyn geometryczny δV' ⋅ Δ(f):

δg f = δf∥ + I δf⊥

Część biwektorowa δf⊥:

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

δf⊥ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy δV' jest równoległy do Δ(f), tzn. przesunięcie (δx, δy, δz) jest współliniowe z gradientem. W przeciwnym razie biwektor koduje:

• Wektor normalny do płaszczyzny wektorów δV' i Δ(f).
• Obiekt ortogonalny w tej płaszczyźnie.
• Razem z δf∥ tworzy strukturę analogiczną do liczby zespolonej.

Zalety metody

• Interpolacja poza siatką: Na podstawie wartości Δx f, Δy f, Δz f w węźle oblicza się δg f dla dowolnego (δx, δy, δz) w otoczeniu.
• Rozdzielenie składowych: δf∥ opisuje zmianę wzdłuż przesunięcia, δf⊥ — odchylenie od gradientu.
• Trajektorie gradientu: Warunek δf⊥ = 0 wyznacza kierunki równoległe do Δ(f).
• Wydajność: Wykorzystuje wyłącznie operacje skalarne, bez macierzy w obliczeniach.

Przykład obliczeń

W węźle (0,0,0): Δx = Δy = Δz = 0.1, Δx f = 0.2, Δy f = 0.3, Δz f = 0.4 (pochodne 2, 3, 4).

Dla punktu (0.02, 0.03, 0.04):

• δf∥ = (0.2/0.1)0.02 + (0.3/0.1)0.03 + (0.4/0.1)*0.04 = 0.29
• Współczynniki δf⊥: c3 = 0.3(0.04/0.1) - 0.4(0.03/0.1) = 0; analogicznie c2 = 0, c1 = 0.

Przesunięcie jest równoległe do gradientu, δg f = 0.29.

Dla (0.03, 0.02, 0.04):

• δf∥ = 20.03 + 30.02 + 4*0.04 = 0.28
• c3 = 0.30.4 - 0.40.2 = 0.04; c2 = 0.40.3 - 0.20.4 = 0.04; c1 = 0.20.2 - 0.30.3 = -0.05.

Biwektor ≠ 0, metoda rejestruje odchylenie.

Kluczowe wnioski

• Metoda wyraża różniczkę poprzez względną zorientowaną objętość oraz różnice skończone.
• Umożliwia interpolację w dowolnych punktach bez konieczności tworzenia dodatkowych siatek.
• Składowa biwektorowa pozwala ilościowo ocenić niewspółliniowość przesunięcia względem gradientu.
• Znajduje zastosowanie w metodach numerycznych z siatkami adaptacyjnymi do oceny przyrostów w dowolnych kierunkach.
• Obliczenia sprowadzają się do arytmetyki skalarnej.

— Editorial Team