Differential in der geometrischen Algebra: numerisches Verfahren

Verallgemeinertes Differential in der geometrischen Algebra über orientiertes Volumen

In der geometrischen Algebra (GA) lässt sich das Differential mithilfe von orientiertem Volumen und dem geometrischen Produkt formulieren. Dieser Ansatz nutzt finite Differenzen auf einem Gitter, um Funktionswerte an beliebigen Punkten in der Nähe eines Gitterknotens zu interpolieren. Die Methode zerlegt die Änderung in Komponenten parallel und orthogonal zum Gradienten, was sie besonders wertvoll für numerische Berechnungen macht.

Das Verfahren basiert auf der Matrixdarstellung der Achsen mittels Pauli-Matrizen und eines Pseudoskalars. Es ermöglicht Berechnungen, ohne zusätzliche Gitter oder Matrixmultiplikationen zur Laufzeit zu benötigen.

Grundlegende Notation

• Δ — Finite Inkremente auf dem Gitter: Schritte Δx, Δy, Δz und Funktionsdifferenzen Δx f, Δy f, Δz f.
• δ — Beliebige Inkremente in der Umgebung eines Knotens.
• σ1, σ2, σ3 — Achseneinheitsvektoren in der Pauli-Matrix-Basis:

```math

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

```

• ⋅ — Geometrisches (Matrix-)Produkt.
• × — Kreuzprodukt.
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — Pseudoskalar.

Ein Vektor X wird in dieser Basis wie folgt ausgedrückt: X = x σ3 + y σ2 + z σ1. Beachten Sie die vertauschten Achsen: σ3 entspricht x, σ2 entspricht y und σ1 entspricht z.

Orientiertes Volumen und relatives Volumen

Das orientierte Volumen δV wird aus den Zellflächen und Verschiebungen konstruiert:

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

wobei ΔSx = Δy Δz, ΔSy = Δx Δz und ΔSz = Δx Δy.

Das relative orientierte Volumen (erhalten durch Division durch das Zellvolumen Δv = Δx Δy Δz):

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

Der Finite-Differenzen-Vektor Δ(f) (analog zu einem nicht normierten Gradienten):

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

mit Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z) und entsprechend für die anderen Achsen.

Skalare und Bivektor-Inkremente

Das skalare Inkrement δf∥ (parallele Komponente):

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

Für Δ, δ → 0 konvergiert dies gegen das klassische Differential df.

Das verallgemeinerte Differential δg f als geometrisches Produkt δV' ⋅ Δ(f):

δg f = δf∥ + I δf⊥

Die Bivektor-Komponente δf⊥:

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

δf⊥ = 0 genau dann, wenn δV' parallel zu Δ(f) ist, was bedeutet, dass die Verschiebung (δx, δy, δz) kollinear zum Gradienten verläuft. Andernfalls kodiert der Bivektor:

• Die Normale auf der Ebene, die von δV' und Δ(f) aufgespannt wird.
• Ein orthogonales Objekt innerhalb dieser Ebene.
• Zusammen mit δf∥ bildet es eine Struktur, die einer komplexen Zahl analog ist.

Vorteile der Methode

• Interpolation außerhalb des Gitters: Aus den Werten Δx f, Δy f, Δz f an einem Knoten lässt sich δg f für beliebige (δx, δy, δz) in dessen Umgebung berechnen.
• Komponententrennung: δf∥ repräsentiert die Änderung entlang der Verschiebung, während δf⊥ die Abweichung vom Gradienten erfasst.
• Gradiententrajektorien: Die Bedingung δf⊥ = 0 definiert Richtungen parallel zu Δ(f).
• Recheneffizienz: Basiert ausschließlich auf skalaren Operationen und eliminiert Matrizen während der Berechnung.

Rechenbeispiel

Am Knoten (0,0,0): Δx = Δy = Δz = 0.1, Δx f = 0.2, Δy f = 0.3, Δz f = 0.4 (entspricht den Ableitungen 2, 3, 4).

Für den Punkt (0.02, 0.03, 0.04):

• δf∥ = (0.2/0.1)0.02 + (0.3/0.1)0.03 + (0.4/0.1)*0.04 = 0.29
• δf⊥-Koeffizienten: c3 = 0.3(0.04/0.1) - 0.4(0.03/0.1) = 0; entsprechend c2 = 0, c1 = 0.

Die Verschiebung ist parallel zum Gradienten, was δg f = 0.29 ergibt.

Für den Punkt (0.03, 0.02, 0.04):

• δf∥ = 20.03 + 30.02 + 4*0.04 = 0.28
• c3 = 0.30.4 - 0.40.2 = 0.04; c2 = 0.40.3 - 0.20.4 = 0.04; c1 = 0.20.2 - 0.30.3 = -0.05.

Der Bivektor ist ungleich null, was zeigt, dass die Methode die Abweichung erfolgreich erfasst.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Methode formuliert das Differential über relatives orientiertes Volumen und finite Differenzen.
• Ermöglicht Interpolation an beliebigen Punkten ohne Hilfsgitter.
• Die Bivektor-Komponente misst quantitativ die Nicht-Kollinearität zwischen Verschiebung und Gradient.
• Anwendbar in numerischen Verfahren mit adaptiven Gittern zur Schätzung von Inkrementen in beliebigen Richtungen.
• Berechnungen reduzieren sich vollständig auf skalare Arithmetik.

— Editorial Team