Différentielle en algèbre géométrique : méthode numérique

Différentielle généralisée en algèbre géométrique via le volume orienté

En algèbre géométrique (AG), la différentielle peut s'exprimer à l'aide du volume orienté et du produit géométrique. Cette approche exploite les différences finies sur une grille pour interpoler les valeurs d'une fonction en des points arbitraires proches d'un nœud. La méthode décompose l'incrément en composantes parallèles et orthogonales au gradient, ce qui la rend particulièrement utile pour les calculs numériques.

La technique repose sur des représentations matricielles des axes utilisant les matrices de Pauli et un pseudoscalaire. Elle permet d'effectuer des calculs sans nécessiter de grilles supplémentaires ni de multiplications matricielles à l'exécution.

Notations de base

• Δ — Incréments finis sur la grille : pas Δx, Δy, Δz et différences de fonction Δx f, Δy f, Δz f.
• δ — Incréments arbitraires dans le voisinage d'un nœud.
• σ1, σ2, σ3 — Vecteurs unitaires des axes dans la base des matrices de Pauli :

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

• ⋅ — Produit géométrique (matriciel).
• × — Produit vectoriel.
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — Pseudoscalaire.

Un vecteur X dans cette base s'exprime ainsi : X = x σ3 + y σ2 + z σ1. Notez la permutation des axes : σ3 correspond à x, σ2 à y et σ1 à z.

Volume orienté et volume relatif

Le volume orienté δV est construit à partir des aires des faces de la cellule et des déplacements :

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

où ΔSx = Δy Δz, ΔSy = Δx Δz et ΔSz = Δx Δy.

Le volume orienté relatif (obtenu en divisant par le volume de la cellule Δv = Δx Δy Δz) :

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

Le vecteur de différence finie Δ(f) (analogue à un gradient non normalisé) :

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

avec Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z), et de même pour les autres axes.

Incréments scalaires et bivectoriels

L'incrément scalaire δf∥ (composante parallèle) :

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

Lorsque Δ, δ → 0, cette expression converge vers la différentielle classique df.

La différentielle généralisée δg f définie comme le produit géométrique δV' ⋅ Δ(f) :

δg f = δf∥ + I δf⊥

La composante bivectorielle δf⊥ :

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

δf⊥ = 0 si et seulement si δV' est parallèle à Δ(f), ce qui signifie que le déplacement (δx, δy, δz) est colinéaire au gradient. Dans le cas contraire, le bivecteur encode :

• La normale au plan engendré par δV' et Δ(f).
• Un objet orthogonal au sein de ce plan.
• Avec δf∥, il forme une structure analogue à un nombre complexe.

Avantages de la méthode

• Interpolation hors grille : À partir des valeurs Δx f, Δy f, Δz f en un nœud, δg f peut être calculé pour tout (δx, δy, δz) dans son voisinage.
• Séparation des composantes : δf∥ représente la variation le long du déplacement, tandis que δf⊥ capture l'écart par rapport au gradient.
• Trajectoires de gradient : La condition δf⊥ = 0 définit les directions parallèles à Δ(f).
• Efficacité de calcul : Repose uniquement sur des opérations scalaires, éliminant les matrices lors du calcul.

Exemple de calcul

Au nœud (0,0,0) : Δx = Δy = Δz = 0,1, Δx f = 0,2, Δy f = 0,3, Δz f = 0,4 (correspondant aux dérivées 2, 3, 4).

Pour le point (0,02 ; 0,03 ; 0,04) :

• δf∥ = (0,2/0,1)0,02 + (0,3/0,1)0,03 + (0,4/0,1)*0,04 = 0,29
• Coefficients de δf⊥ : c3 = 0,3(0,04/0,1) - 0,4(0,03/0,1) = 0 ; de même, c2 = 0, c1 = 0.

Le déplacement est parallèle au gradient, ce qui donne δg f = 0,29.

Pour le point (0,03 ; 0,02 ; 0,04) :

• δf∥ = 20,03 + 30,02 + 4*0,04 = 0,28
• c3 = 0,30,4 - 0,40,2 = 0,04 ; c2 = 0,40,3 - 0,20,4 = 0,04 ; c1 = 0,20,2 - 0,30,3 = -0,05.

Le bivecteur est non nul, ce qui indique que la méthode capture bien l'écart.

Points clés

• La méthode exprime la différentielle via le volume orienté relatif et les différences finies.
• Elle permet l'interpolation en des points arbitraires sans grilles auxiliaires.
• La composante bivectorielle mesure quantitativement la non-colinéarité entre le déplacement et le gradient.
• Applicable aux méthodes numériques avec maillages adaptatifs pour estimer les incréments selon des directions quelconques.
• Les calculs se réduisent entièrement à l'arithmétique scalaire.

— Editorial Team