几何代数中的微分：数值方法

几何代数中基于定向体积的广义微分

在几何代数（GA）中，微分可通过定向体积与几何积来表达。该方法利用网格上的有限差分，对节点附近任意点的函数值进行插值。该方法将增量分解为平行于梯度与正交于梯度的分量，在数值计算中极具实用价值。

该技术基于泡利矩阵与伪标量对坐标轴进行矩阵表示。它无需额外网格或运行时矩阵乘法即可完成计算。

基本符号

• Δ — 网格上的有限增量：步长 Δx, Δy, Δz 及函数差值 Δx f, Δy f, Δz f。
• δ — 节点邻域内的任意增量。
• σ1, σ2, σ3 — 泡利矩阵基下的坐标轴单位向量：

```math

σ1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad σ2 = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad σ3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

```

• ⋅ — 几何（矩阵）积。
• × — 叉积。
• I = σ1 ⋅ σ2 ⋅ σ3 — 伪标量。

该基下的向量 X 表示为：X = x σ3 + y σ2 + z σ1。注意坐标轴已置换：σ3 对应 x，σ2 对应 y，σ1 对应 z。

定向体积与相对体积

定向体积 δV 由网格面面积与位移构建：

δV = ΔSx ⋅ (δx ⋅ σ3) + ΔSy ⋅ (δy ⋅ σ2) + ΔSz ⋅ (δz ⋅ σ1)

其中 ΔSx = Δy Δz，ΔSy = Δx Δz，且 ΔSz = Δx Δy。

相对定向体积（除以网格体积 Δv = Δx Δy Δz 得到）：

δV' = \frac{δV}{Δv} = \frac{Δx}{δx} ⋅ σ3 + \frac{Δy}{δy} ⋅ σ2 + \frac{Δz}{δz} ⋅ σ1

有限差分向量 Δ(f)（类似于未归一化的梯度）：

Δ(f) = Δx f σ3 + Δy f σ2 + Δz f σ1

其中 Δx f = f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z)，其他轴同理。

标量增量与二重向量增量

标量增量 δf∥（平行分量）：

δf∥ = \frac{Δx f}{Δx} δx + \frac{Δy f}{Δy} δy + \frac{Δz f}{Δz} δz

当 Δ, δ → 0 时，该式收敛于经典微分 df。

广义微分 δg f 定义为几何积 δV' ⋅ Δ(f)：

δg f = δf∥ + I δf⊥

二重向量分量 δf⊥：

δf⊥ = (Δy f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δy}{Δy}) σ3 + (Δx f \frac{δz}{Δz} - Δz f \frac{δx}{Δx}) σ2 + (Δx f \frac{δy}{Δy} - Δy f \frac{δx}{Δx}) σ1

当且仅当 δV' 与 Δ(f) 平行（即位移 (δx, δy, δz) 与梯度共线）时，δf⊥ = 0。否则，该二重向量编码了以下信息：

• 由 δV' 与 Δ(f) 张成平面的法向量。
• 该平面内的正交对象。
• 与 δf∥ 结合后，形成类似于复数的结构。

方法优势

• 非网格插值：利用节点处的 Δx f, Δy f, Δz f 值，即可计算其邻域内任意 (δx, δy, δz) 对应的 δg f。
• 分量分离：δf∥ 表示沿位移方向的变化，δf⊥ 则捕捉偏离梯度的程度。
• 梯度轨迹：条件 δf⊥ = 0 定义了与 Δ(f) 平行的方向。
• 计算高效：仅依赖标量运算，计算过程中完全无需矩阵操作。

计算示例

在节点 (0,0,0) 处：Δx = Δy = Δz = 0.1，Δx f = 0.2，Δy f = 0.3，Δz f = 0.4（对应导数值 2, 3, 4）。

对于点 (0.02, 0.03, 0.04)：

• δf∥ = (0.2/0.1)0.02 + (0.3/0.1)0.03 + (0.4/0.1)*0.04 = 0.29
• δf⊥ 系数：c3 = 0.3(0.04/0.1) - 0.4(0.03/0.1) = 0；同理 c2 = 0，c1 = 0。

位移与梯度平行，故 δg f = 0.29。

对于点 (0.03, 0.02, 0.04)：

• δf∥ = 20.03 + 30.02 + 4*0.04 = 0.28
• c3 = 0.30.4 - 0.40.2 = 0.04；c2 = 0.40.3 - 0.20.4 = 0.04；c1 = 0.20.2 - 0.30.3 = -0.05。

二重向量非零，表明该方法成功捕捉到了偏离程度。

核心要点

• 该方法通过相对定向体积与有限差分来表达微分。
• 无需辅助网格即可在任意点进行插值。
• 二重向量分量可定量衡量位移与梯度之间的非共线性。
• 适用于自适应网格数值方法，用于估算任意方向上的增量。
• 计算过程完全简化为标量算术。

— Editorial Team