Kvaterniony jako vektorový prostor \(\mathbb{H}\)

# Kvadterniony v lineární algebře: vektorový prostor a operace

Kvadterniony tvoří vektorový prostor $\mathbb{H}$ nad tělesem reálných čísel $\mathbb{R}$, dimenze 4. Báze se skládá z jednotkových vektorů $\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$, kde $\hat{h}$ odpovídá reálné části a zbývající tvoří imaginární podprostor.

Jakýkoli kvadternion lze zapsat jako $\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}$, kde $\vec{q}$ je vektor imaginární části. Sčítání kvadternionů a násobení skalárem z $\mathbb{R}$ je uzavřeno v $\mathbb{H}$ a splňuje axiomata vektorového prostoru.

Imaginární podprostor $\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}$ je $\mathbb{R}^3$ s bází $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$. Je uzavřen vůči sčítání a násobení skalárem, ale součin dvou čistých kvadternionů vychází z $\Im$: $\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$.

Redukované a bilineární operace

Redukovaný součin kvadternionů vyčleňuje skalární část standardního součinu: $\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$. Jedná se o bilineární zobrazení, symetrické a kladně definitní.

Plný kvadternionový součin se rozkládá na tři bilineární formy:

• Intraskalární součin: $x_1^0 x_2^0$
• Komplexní: $x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1$
• Vektorový: $- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$

\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)

Norma kvadternionu: $||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}$, euklidovská v $\mathbb{R}^4$.

Otáčky a škálování

Jednotkové kvadterniony $\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q$ reprezentují otáčky v imaginárním $\Im$. Působení na vektor $\mathbf{v} \in \Im$: $\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}$.

Reálně-imaginární otáčka $r \hat{q}$, kde $r \in \mathbb{R}$, $\hat{q} \in \Im$, škáluje prostor podle osy $\hat{q}$: $r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp$.

Každý kvadternion je ekvivalentní otáčkou reálného skaláru kolem imaginární osy: $\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}$.

Porovnání s oktaviony $\mathbb{O}$: dimenze 8, 7 imaginárních jednotek, alternační (neasociativní) algebra. Tabulka násobení ukazuje ztrátu asociativnosti, např. $\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m$.

Praktické aspekty

• Bázové vlastnosti: $\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1$, $\imath \jmath = k$, cykličnost.
• Konjugovaný: $\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}$, $\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2$.
• Čisté kvadterniony: $\mathbf{q}^* = \vec{q}$, leží v $\Im$.

Pro vývojáře: kvadterniony jsou užitečné v 3D grafice pro interpolaci otáček (SLERP), překonávají 3×3 matice kompaktností a numerickou stabilitou.

Co je důležité

• Kvadterniony — 4rozměrný euklidovský prostor s nekomutativním násobením.
• Rozklad násobení na bilineární formy usnadňuje analýzu.
• Jednotkové kvadterniony parametrizují SO(3) bez gimbal locku.
• Reálně-imaginární otáčky realizují anisotropní škálování.
• Oktaviony rozšiřují algebru, ale ztrácejí asociativnost.

— Editorial Team