Quaternions comme espace vectoriel \(\mathbb{H}\)

# Quaternions en algèbre linéaire : Espaces vectoriels et opérations

Les quaternions forment un espace vectoriel $\mathbb{H}$ sur les nombres réels $\mathbb{R}$, de dimension 4. La base est composée des vecteurs unitaires $\hat{h}$, $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$, $\hat{k}$, où $\hat{h}$ représente la partie réelle et les autres la sous-espace imaginaire.

Tout quaternion s'écrit $\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}$, où $\vec{q}$ est le vecteur de la partie imaginaire. L'addition de quaternions et la multiplication scalaire par des réels de $\mathbb{R}$ sont fermées en $\mathbb{H}$ et satisfont les axiomes d'espace vectoriel.

La sous-espace imaginaire $\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}$ est isomorphe à $\mathbb{R}^3$ avec base $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$, $\hat{k}$. Elle est fermée pour l'addition et la multiplication scalaire, mais le produit de deux quaternions purs sort de $\Im$ : $\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$.

Opérations réduites et bilinéaires

Le produit quaternion réduit extrait la partie scalaire du produit standard : $\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$. C'est une forme bilinéaire, symétrique et définie positive.

La multiplication quaternion complète se décompose en trois formes bilinéaires :

• Produit intrascelaire : $x_1^0 x_2^0$
• Produit complexe : $x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1$
• Produit vectoriel : $- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$

\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)

Norme quaternion : $||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}$, euclidienne en $\mathbb{R}^4$.

Rotations et échelles

Les quaternions unitaires $\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q$ représentent des rotations dans l'espace imaginaire $\Im$. Action sur un vecteur $\mathbf{v} \in \Im$ : $\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}$.

Une rotation réel-imaginaire $r \hat{q}$, où $r \in \mathbb{R}$, $\hat{q} \in \Im$, effectue un étirement anisotrope le long de l'axe $\hat{q}$ : $r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp$.

Tout quaternion équivaut à une rotation d'un scalaire réel autour d'un axe imaginaire : $\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}$.

Comparaison avec les octonions $\mathbb{O}$ : dimension 8, 7 unités imaginaires, algèbre alternative (non associative). Le tableau de multiplication montre la perte d'associativité, par exemple $\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m$.

Aspects pratiques

• Propriétés de la base : $\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1$, $\imath \jmath = k$, cyclique.
• Conjugé : $\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}$, $\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2$.
• Quaternions purs : $\mathbf{q}^* = \vec{q}$, dans $\Im$.

Pour les développeurs : les quaternions excellent en infographie 3D pour l'interpolation de rotations (SLERP), avec compacité et stabilité numérique supérieures aux matrices 3×3.

Points clés

• Les quaternions forment un espace euclidien 4D avec multiplication non commutative.
• La multiplication se décompose en formes bilinéaires pour une analyse facilitée.
• Les quaternions unitaires paramètrent SO(3) sans blocage de cardans.
• Les rotations réel-imaginaires permettent l'étirement anisotrope.
• Les octonions étendent l'algèbre mais perdent l'associativité.

— Editorial Team