벡터 공간 \(\mathbb{H}\)으로서의 쿼터니언

# 선형대수학에서 쿼터니언: 벡터 공간과 연산

쿼터니언은 실수체 $\mathbb{R}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb{H}$를 형성하며, 차원은 4입니다. 기저는 단위 벡터 $\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$로 구성되며, 여기서 $\hat{h}$는 실수 부분을, 나머지는 허수 부분 공간을 나타냅니다.

임의의 쿼터니언은 $\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}$로 쓰며, $\vec{q}$는 허수 부분의 벡터입니다. 쿼터니언의 덧셈과 실수 $\mathbb{R}$에 의한 스칼라 곱은 $\mathbb{H}$ 내에서 닫혀 있으며 벡터 공간 공리를 만족합니다.

허수 부분 공간 $\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}$은 기저 $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$를 가진 $\mathbb{R}^3$입니다. 덧셈과 스칼라 곱에 대해서는 닫혀 있지만, 순수 쿼터니언 두 개의 곱은 $\Im$을 벗어납니다: $\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$.

축소 및 쌍선형 연산

축소 쿼터니언 곱은 표준 곱의 스칼라 부분을 추출합니다: $\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \vec{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$. 이는 쌍선형이고 대칭적이며 양정치 형식입니다.

전체 쿼터니언 곱은 세 가지 쌍선형 형식으로 분해집니다:

• 내적곱: $x_1^0 x_2^0$
• 복소: $x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1$
• 벡터: $- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$

\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)

쿼터니언 노름: $||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}$, $\mathbb{R}^4$의 유클리드 노름입니다.

회전과 스케일링

단위 쿼터니언 $\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q$는 허수 공간 $\Im$에서 회전을 나타냅니다. 벡터 $\mathbf{v} \in \Im$에 대한 작용: $\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}$.

실수-허수 회전 $r \hat{q}$ ($r \in \mathbb{R}$, $\hat{q} \in \Im$)는 $\hat{q}$ 축을 따라 공간을 스케일링합니다: $r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp$.

임의의 쿼터니언은 허수 축 주위의 실수 스칼라 회전과 같습니다: $\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}$.

옥토니언 $\mathbb{O}$와 비교: 차원 8, 7개의 허수 단위, 대안(비결합) 대수. 곱셈표는 비결합성을 보여줍니다. 예: $\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m$.

실무적 측면

• 기저 성질: $\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1$, $\imath \jmath = k$, 순환적.
• 켤레: $\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}$, $\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2$.
• 순수 쿼터니언: $\mathbf{q}^* = \vec{q}$, $\Im$에 속함.

개발자를 위한 팁: 쿼터니언은 3D 그래픽스에서 회전 보간(SLERP)에 탁월하며, 3×3 행렬보다 컴팩트하고 수치적으로 안정적입니다.

주요 요점

• 쿼터니언은 비가환 곱셈을 가진 4차원 유클리드 공간입니다.
• 곱셈은 분석을 쉽게 하는 쌍선형 형식으로 분해집니다.
• 단위 쿼터니언은 짐벌 락 없이 SO(3)를 매개변수화합니다.
• 실수-허수 회전은 이방성 스케일링을 가능하게 합니다.
• 옥토니언은 대수를 확장하지만 결합성을 잃습니다.

— Editorial Team