Cuaterniones como espacio vectorial \(\mathbb{H}\)

Cuaterniones en Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales y Operaciones

Los cuaterniones forman un espacio vectorial \(\mathbb{H}\) sobre los números reales \(\mathbb{R}\), de dimensión 4. La base está formada por vectores unitarios \(\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}\), donde \(\hat{h}\) representa la parte real y los demás el subespacio imaginario.

Cualquier cuaternión se escribe como \(\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}\), donde \(\vec{q}\) es el vector de la parte imaginaria. La suma de cuaterniones y la multiplicación escalar por reales de \(\mathbb{R}\) están cerradas en \(\mathbb{H}\) y satisfacen los axiomas de espacio vectorial.

El subespacio imaginario \(\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}\) es \(\mathbb{R}^3\) con base \(\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}\). Está cerrado bajo suma y multiplicación escalar, pero el producto de dos cuaterniones puros sale de \(\Im\): \(\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2\).

Operaciones Reducidas y Bilineales

El producto cuaternión reducido extrae la parte escalar del producto estándar: \(\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2\). Se trata de una forma bilineal, simétrica y definida positiva.

La multiplicación completa de cuaterniones se descompone en tres formas bilineales:

• Producto escalar: \(x_1^0 x_2^0\)
• Complejo: \(x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1\)
• Vectorial: \(- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2\)

\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)

Norma de cuaterniones: \(||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}\), euclidiana en \(\mathbb{R}^4\).

Rotaciones y Escalado

Los cuaterniones unitarios \(\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q\) representan rotaciones en el imaginario \(\Im\). Acción sobre un vector \(\mathbf{v} \in \Im\): \(\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}\).

Una rotación real-imaginaria \(r \hat{q}\), donde \(r \in \mathbb{R}\), \(\hat{q} \in \Im\), escala el espacio a lo largo del eje \(\hat{q}\): \(r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp\).

Cualquier cuaternión equivale a una rotación de un escalar real alrededor de un eje imaginario: \(\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}\).

Comparación con octoniones \(\mathbb{O}\): dimensión 8, 7 unidades imaginarias, álgebra alternativa (no asociativa). La tabla de multiplicación muestra la pérdida de asociatividad, p. ej., \(\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m\).

Aspectos Prácticos

• Propiedades de la base: \(\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1\), \(\imath \jmath = k\), cíclica.
• Conjugado: \(\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}\), \(\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2\).
• Cuaterniones puros: \(\mathbf{q}^* = \vec{q}\), yacen en \(\Im\).

Para desarrolladores: los cuaterniones destacan en gráficos 3D para interpolación de rotaciones (SLERP), con mayor compacidad y estabilidad numérica que las matrices 3×3.

Lecciones Clave

• Los cuaterniones son un espacio euclidiano 4D con multiplicación no conmutativa.
• La multiplicación se descompone en formas bilineales para un análisis más sencillo.
• Los cuaterniones unitarios parametrizan SO(3) sin bloqueo de cardanes.
• Las rotaciones real-imaginarias permiten escalado anisotrópico.
• Los octoniones extienden el álgebra pero pierden la asociatividad.

— Editorial Team