Kwaterniony jako przestrzeń wektorowa \(\mathbb{H}\)

Kwaterniony w algebrze liniowej: przestrzenie wektorowe i operacje

Kwaterniony tworzą przestrzeń wektorową $\mathbb{H}$ nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$, o wymiarze 4. Baza składa się z wektorów jednostkowych $\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$, gdzie $\hat{h}$ odpowiada części rzeczywistej, a pozostałe – podprzestrzeni urojonej.

Dowolny kwaternion zapisujemy jako $\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}$, gdzie $\vec{q}$ to wektor części urojonej. Dodawanie kwaternionów i mnożenie przez skalar z $\mathbb{R}$ jest zamknięte w $\mathbb{H}$ i spełnia aksjomaty przestrzeni wektorowej.

Podprzestrzeń urojona $\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}$ to $\mathbb{R}^3$ z bazą $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$. Jest zamknięta względem dodawania i mnożenia przez skalar, ale iloczyn dwóch czystych kwaternionów wychodzi poza $\Im$: $\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$.

Redukowane i biliniowe operacje

Redukowany iloczyn kwaternionów wydziela część skalarową standardowego iloczynu: $\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$. To biliniowe odwzorowanie, symetryczne i dodatnio określone.

Pełne mnożenie kwaternionowe rozkłada się na trzy formy biliniowe:

• Wewnętrzny iloczyn skalarów: $x_1^0 x_2^0$
• Kompleksowy: $x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1$
• Wektorowy: $- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$

\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)

Norma kwaternionu: $||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}$, euklidesowa w $\mathbb{R}^4$.

Obroty i skalowanie

Jednostkowe kwaterniony $\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q$ reprezentują obroty w urojonych $\Im$. Działanie na wektor $\mathbf{v} \in \Im$: $\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}$.

Rzeczywisto-urojony obrót $r \hat{q}$, gdzie $r \in \mathbb{R}$, $\hat{q} \in \Im$, skaluje przestrzeń wzdłuż osi $\hat{q}$: $r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp$.

Dowolny kwaternion jest równoważny obrotowi skalaru rzeczywistego względem osi urojonej: $\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}$.

Porównanie z oktonionami $\mathbb{O}$: wymiar 8, 7 jednostek urojonych, algebra alternatywna (nieasocjacyjna). Tablica mnożenia pokazuje utratę asocjatywności, np. $\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m$.

Aspekty praktyczne

• Właściwości bazowe: $\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1$, $\imath \jmath = k$, cykliczność.
• Sprzyżony: $\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}$, $\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2$.
• Czyste kwaterniony: $\mathbf{q}^* = \vec{q}$, leżą w $\Im$.

Dla programistów: kwaterniony są przydatne w grafice 3D do interpolacji obrotów (SLERP), przewyższają macierze 3×3 pod względem kompaktowości i stabilności numerycznej.

Co najważniejsze

• Kwaterniony to 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa z nieprzemiennym mnożeniem.
• Rozkład mnożenia na formy biliniowe ułatwia analizę.
• Jednostkowe kwaterniony parametryzują SO(3) bez blokady gimbali.
• Rzeczywisto-urojone obroty realizują skalowanie anizotropowe.
• Oktoniony rozszerzają algebrę, ale tracą asocjatywność.

— Editorial Team