# 四元数在线性代数中的应用：向量空间与运算
四元数构成实数域上的向量空间 $\mathbb{H}$，维数为 4。基由单位向量 $\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ 组成，其中 $\hat{h}$ 表示实部，其余表示虚部子空间。
任意四元数可写成 $\mathbf{q} = x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} = x^0 + \vec{q}$，其中 $\vec{q}$ 是虚部的向量。四元数加法以及实数域 $\mathbb{R}$ 的标量乘法在 $\mathbb{H}$ 中封闭，并满足向量空间公理。
虚部子空间 $\Im = \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} \mid x^0 = 0 \}$ 等同于 $\mathbb{R}^3$，以 $\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ 为基。它对加法和标量乘法封闭，但两个纯四元数的乘积会离开 $\Im$：$\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = - \langle \vec{q}_1, \vec{q}_2 \rangle + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$。
缩减与双线性运算
缩减四元数乘积提取标准乘积的标量部分：$\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 = \langle \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 \rangle = x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$。这是一个双线性、对称、正定的形式。
完整四元数乘法分解为三种双线性形式：
- 标量积：$x_1^0 x_2^0$
- 复数部分：$x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1$
- 向量部分：$- \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2$
\mathbf{q}_1 \mathbf{q}_2 = (x_1^0 x_2^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2) + (x_1^0 \vec{q}_2 + x_2^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2)四元数范数：$||\mathbf{q}|| = \sqrt{x_0^2 + |\vec{q}|^2}$，这是 $\mathbb{R}^4$ 中的欧几里得范数。
旋转与缩放
单位四元数 $\hat{\mathbf{q}} = \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q$ 表示虚部空间 $\Im$ 中的旋转。对向量 $\mathbf{v} \in \Im$ 的作用：$\hat{\mathbf{q}} \mathbf{v} \hat{\mathbf{q}}^{-1}$。
实虚旋转 $r \hat{q}$（其中 $r \in \mathbb{R}$，$\hat{q} \in \Im$）沿 $\hat{q}$ 轴缩放空间：$r \hat{q} \mathbf{v} (r \hat{q})^{-1} = r^2 \langle \mathbf{v}, \hat{q} \rangle \hat{q} + \mathbf{v}_\perp$。
任意四元数等价于围绕虚轴旋转实标量：$\mathbf{q} = |\mathbf{q}| e^{\angle_q \hat{q}}$。
与八元数 $\mathbb{O}$ 比较：维数 8，7 个虚单位，非结合代数。乘法表显示结合律失效，例如 $\jmath \circ (\ell \circ m) \neq (\jmath \circ \ell) \circ m$。
实际应用
- 基性质：$\imath^2 = \jmath^2 = k^2 = -1$，$\imath \jmath = k$，循环关系。
- 共轭：$\overline{\mathbf{q}} = x^0 - \vec{q}$，$\mathbf{q} \overline{\mathbf{q}} = ||\mathbf{q}||^2$。
- 纯四元数：$\mathbf{q}^* = \vec{q}$，位于 $\Im$ 中。
对开发者而言，四元数在 3D 图形中大放异彩，用于旋转插值（SLERP），比 3×3 矩阵更紧凑且数值稳定。
关键要点
- 四元数是 4D 欧几里得空间，具有非交换乘法。
- 乘法分解为双线性形式，便于分析。
- 单位四元数参数化 SO(3)，避免万向锁问题。
- 实虚旋转实现各向异性缩放。
- 八元数扩展代数但丧失结合性。
— Editorial Team
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