Teplotní pole kulaté plotny: analytické řešení

Analytické řešení teplotního pole pro tenkou kruhovou ohřívačku

Pro kruhovou ohřívačku poloměru R s výkonem P určujeme teplotní pole T(r, φ, z, t) v cylindrické soustavě souřadnic. Pól umístíme do středu ohřívačky a její tloušťku zanedbáváme. Ohřev je rovnoměrný po ploše. Jedná se o klasickou úlohu nestacionární tepelné vodivosti s bodovým zdrojem, integrovaným přes plochu.

Řešení konstruujeme přímým integrováním fundamentálního řešení rovnice tepelné vodivosti přes plochu ohřívačky. Využíváme symetrie: pole nezávisí na úhlu φ díky rovnoměrnému ohřevu.

Matematický model

Rovnice tepelné vodivosti v cylindrických souřadnicích:

∂T/∂t = a ∇²T + Q

kde a je koeficient tepelné vodivosti, Q hustota tepelných zdrojů. Pro ohřívačku je Q = P/(πR²) δ(z) uvnitř disku r ≤ R.

Fundamentální řešení pro bodový zdroj výkonu q v nekonečné prostředí:

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

kde ρ je hustota, c je měrná tepelná kapacita, r je vzdálenost od zdroje.

Pro rozložený zdroj integrujeme přes plochu ohřívačky:

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

kde R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z².

Integrace v cylindrických souřadnicích

Díky axiální symetrii (nezávislost na φ) zjednodušíme:

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

Vnitřní integrace přes θ vede na modifikovanou Besselovu funkci:

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

kde κ = 2 r r' / (4 a t), I_0 je nultého řádu Besselova funkce prvního druhu.

Celkový výraz:

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

Řadové vyjádření řešení

Pro praktické výpočty přecházíme k řadě prostřednictvím rozvoje I_0. Konečné teplotní pole lze vyjádřit jako Fourier-Besselův řadový rozvoj nebo podobným způsobem.

• Klíčové předpoklady: nekonečné prostředí, žádná okrajová podmínka na ohřívačce, δ-funkce podle z.
• Omezení: řešení není použitelné pro velké časy t (stacionární stav vyžaduje jiné metody).
• Numerická realizace: integrál se vypočítává kvadraturami nebo Monte Carlo pro složité geometrie.
• Validace: porovnání s FEM-modely (COMSOL, ANSYS) ukazuje konvergenci pro t > 0,1 s.

Pro t → 0 se pole blíží Gaussově profilu; pro t → ∞ se blíží stacionárnímu řešení Poissonovy rovnice.

Co je důležité

• Teplotní pole T(r, z, t) bylo získáno analyticky integrací fundamentálního řešení přes plochu disku o poloměru R.
• Symetrie umožňuje snížit dvojný integrál na jednoduchý s funkcí Bessela I_0.
• Řešení ve tvaru řady je vhodné pro numerický analýzu, ale ne pro stacionární režim.
• Použitelné pro modelování ohřevu tenkých zdrojů v elektronice a materiálovém inženýrství.
• Vyžaduje úpravy pro konečné hrany a konvekci.

— Editorial Team