Pole temperaturowe okrągłej konforki: rozwiązanie analityczne

Rozwiązanie analityczne pola temperatury dla cienkiego kołowego palnika

Dla kołowego palnika o promieniu R i mocy P określamy pole temperatury T(r, φ, z, t) w układzie współrzędnych cylindrycznych. Biegun umieszczamy w środku palnika, a jego grubość pomijamy. Nagrzewanie jest jednorodne na powierzchni. Jest to klasyczny problem niestacjonarnej przewodności cieplnej z punktowym źródłem, całkowanym po powierzchni.

Rozwiązanie konstruujemy poprzez bezpośrednie całkowanie rozwiązania podstawowego równania przewodzenia ciepła po powierzchni palnika. Uwzględniamy symetrię: pole nie zależy od kąta φ dzięki jednorodności nagrzewania.

Model matematyczny

Równanie przewodzenia ciepła w układzie współrzędnych cylindrycznych:

∂T/∂t = a ∇²T + Q

gdzie a — współczynnik difuzji cieplnej, Q — gęstość źródeł ciepła. Dla palnika Q = P/(πR²) δ(z) wewnątrz dysku r ≤ R.

Rozwiązanie podstawowe dla punktowego źródła mocy q w nieskończonej ośrodku:

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

gdzie ρ — gęstość, c — ciepło właściwe, r — odległość od źródła.

Dla rozłożonego źródła całkujemy po powierzchni palnika:

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

gdzie R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z².

Całkowanie w układzie współrzędnych cylindrycznych

Z powodu osiowej symetrii (nie zależy od φ) upraszczamy:

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

Całkowanie wewnętrzne po θ prowadzi do funkcji Bessela zmodyfikowanej:

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

gdzie κ = 2 r r' / (4 a t), I_0 — zerowy rzęd funkcji Bessela pierwszego rodzaju.

Pełna postać wyrażenia:

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

Reprezentacja szeregu rozwiązania

W praktyce obliczeniowej przechodzi się do rozwinięcia w szereg poprzez rozwinięcie I_0. Ostateczne pole temperatury wyraża się szeregiem Fouriera-Bessela lub podobnym rozwinięciem.

• Kluczowe założenia: nieskończony ośrodek, brak warunków granicznych na palniku, funkcja δ względem z.
• Ograniczenia: rozwiązanie nie nadaje się do dużych wartości t (tryb stacjonarny wymaga innych metod).
• Realizacja numeryczna: całka obliczana jest metodami kwadratur lub Monte Carlo dla skomplikowanych geometrii.
• Weryfikacja: porównanie z modelami FEM (COMSOL, ANSYS) pokazuje zbieżność dla t > 0,1 s.

Przy t → 0 pole zbliża się do profilu Gaussa; przy t → ∞ — do rozwiązania stacjonarnego Laplace’a.

Co warto wiedzieć

• Pole temperatury T(r, z, t) zostało uzyskane analitycznie poprzez całkowanie rozwiązania podstawowego po powierzchni dysku o promieniu R.
• Symetria pozwala sprowadzić całkę podwójną do pojedynczej z funkcją Bessela I_0.
• Rozwiązanie w postaci szeregu nadaje się do analizy numerycznej, ale nie do trybu stacjonarnego.
• Może być stosowane do modelowania nagrzewania cienkich źródeł w elektronice i materiałoznawstwie.
• Wymaga ulepszeń dla skończonych granic i konwekcji.

— Editorial Team