圆形燃烧器温度场：解析解

薄圆型灶具温度场的解析解

对于半径为 R、功率为 P 的圆形灶具，我们采用柱坐标系求解温度场 T(r, φ, z, t)。热源位于灶具中心，厚度忽略不计，表面加热均匀。这是一个经典的瞬态导热问题，具有面积分点热源特征。

通过在灶具面积上直接对热传导方程的基本解进行积分，推导出该解。由于加热均匀，系统具有轴对称性，温度场与角度 φ 无关。

数学模型

柱坐标系下的热传导方程：

∂T/∂t = a ∇²T + Q

其中，a 为热扩散率，Q 为热源密度。对于灶具，热源密度为 Q = P/(πR²) δ(z)，定义于 r ≤ R 的圆盘区域内。

无限介质中点热源（功率为 q）的基本解为：

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

其中，ρ 为密度，c 为比热容，r 为距热源的距离。

对于分布热源，需在灶具区域上积分：

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

其中，R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z²。

柱坐标系中的积分处理

由于轴对称性（与 φ 无关），可简化为：

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

对 θ 的内层积分结果为修正贝塞尔函数：

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

其中，κ = 2 r r' / (4 a t)，I_0 为第一类零阶修正贝塞尔函数。

最终表达式为：

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

解的级数表示

为便于实际计算，可采用 I_0 的泰勒展开进行级数展开，所得温度场可表示为傅里叶-贝塞尔级数或类似形式。

• 核心假设：无限介质，灶具无边界条件，z方向呈狄拉克δ函数特性。
• 局限性：适用于短时间尺度，长时间下（稳态）需另寻方法。
• 数值实现：复杂几何下可通过高斯积分或蒙特卡洛法求解积分。
• 验证方式：与 FEM 模型（如 COMSOL、ANSYS）对比显示，在 t > 0.1 秒时收敛良好。

当 t → 0 时，温度场趋近高斯分布；当 t → ∞ 时，趋于稳态泊松方程解。

关键结论

• 温度场 T(r, z, t) 通过在半径为 R 的圆盘上积分基本解，实现了完全解析求解。
• 利用对称性，将双重积分简化为含 I_0 函数的单重积分。
• 级数形式适合数值分析，但不适用于稳态情形。
• 可广泛用于电子器件及材料科学中薄热源的建模。
• 需进一步拓展以考虑有限边界和对流效应。

— Editorial Team