Temperaturfeld eines runden Brenners: analytische Lösung

Analytische Lösung für das Temperaturfeld in einer dünnen kreisförmigen Kochplatte

Für eine kreisförmige Kochplatte mit Radius R und Leistung P bestimmen wir das Temperaturfeld T(r, φ, z, t) in Zylinderkoordinaten. Der Pol befindet sich im Zentrum der Kochplatte, und seine Dicke wird vernachlässigt. Die Erwärmung ist gleichmäßig über die Oberfläche verteilt. Dies ist ein klassisches instationäres Wärmeleitungsproblem mit einer flächenintegrierten Punktladung.

Wir leiten die Lösung durch direkte Integration der fundamentalen Lösung der Wärmeleitungsgleichung über die Kochplattenfläche ab. Die Symmetrie wird berücksichtigt: Das Feld hängt aufgrund der gleichmäßigen Erwärmung nicht vom Winkel φ ab.

Mathematisches Modell

Die Wärmeleitungsgleichung in Zylinderkoordinaten:

∂T/∂t = a ∇²T + Q

wobei a die thermische Diffusivität und Q die Wärmequellen-Dichte ist. Für die Kochplatte gilt Q = P/(πR²) δ(z) innerhalb der Scheibe r ≤ R.

Die fundamentale Lösung für eine Punktladung mit Leistung q in einem unendlichen Medium:

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

Hierbei ist ρ die Dichte, c die spezifische Wärmekapazität und r der Abstand von der Quelle.

Für eine verteilte Quelle integrieren wir über die Kochplattenfläche:

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

wobei R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z².

Integration in Zylinderkoordinaten

Aufgrund der Achsensymmetrie (unabhängig von φ) vereinfachen wir:

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

Das innere Integral über θ ergibt eine modifizierte Besselfunktion:

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

wobei κ = 2 r r' / (4 a t) und I_0 die nullte Ordnung der modifizierten Besselfunktion erster Art ist.

Endgültiger Ausdruck:

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

Reihendarstellung der Lösung

Für praktische Berechnungen wechseln wir zu einer Reihenentwicklung mittels Taylorreihe von I_0. Das resultierende Temperaturfeld lässt sich als Fourier-Besselserie oder ähnliche Entwicklung darstellen.

• Wichtige Annahmen: unendlicher Raum, keine Randbedingungen an der Kochplatte, Delta-Funktion im z-Bereich.
• Einschränkungen: nicht gültig für große Zeiten t (Gleichgewichtszustand erfordert andere Methoden).
• Numerische Umsetzung: Das Integral wird mittels Quadraturverfahren oder Monte-Carlo-Methoden für komplexe Geometrien berechnet.
• Validierung: Vergleich mit FEM-Modellen (COMSOL, ANSYS) zeigt Konvergenz für t > 0,1 s.

Für t → 0 nähert sich das Feld einer Gauß-Verteilung an; für t → ∞ konvergiert es gegen die stationäre Poisson-Lösung.

Wichtige Erkenntnisse

• Das Temperaturfeld T(r, z, t) wird analytisch hergeleitet, indem die fundamentale Lösung über eine Scheibe mit Radius R integriert wird.
• Die Symmetrie reduziert das Doppelintegral auf ein einfaches Integral mit der Besselfunktion I_0.
• Die Reihendarstellung eignet sich gut für numerische Analysen, jedoch nicht für stationäre Zustände.
• Anwendbar zur Modellierung dünner Wärmequellen in Elektronik und Materialwissenschaft.
• Erfordert Erweiterung für endliche Grenzen und konvektive Effekte.

— Editorial Team